(a) Qual é a eficiência térmica máxima possível da planta e qual a mínima taxa de transferência de calor na qual o calor deve ser descartado para o rio?
(b) Se a eficiência térmica real da planta for de
do valor máximo, em que taxa o calor deve ser descartado para o rio e qual é o aumento da temperatura do rio, se ele tiver uma vazão volumétrica de
?
(b) Se a eficiência térmica real da planta for de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou tem duas partes e está ligado ao estudo de eficiência térmica em plantas de energia, além de tratar da transferência de calor. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a eficiência de Carnot, que nos dá a eficiência máxima teórica de uma máquina térmica, e como calcular a taxa de transferência de calor usando conceitos de termodinâmica. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a eficiência térmica máxima possível da planta. Isso geralmente é dado pela eficiência de Carnot, que é a eficiência teórica máxima que qualquer máquina térmica pode atingir operando entre duas temperaturas.
A fórmula da eficiência de Carnot é:
Onde:
- $ \eta_{Carnot} $ é a eficiência de Carnot,
- $ T_{quente} $ é a temperatura da fonte quente,
- $ T_{fria} $ é a temperatura da fonte fria.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a taxa mínima de transferência de calor que deve ser descartada para o rio. Isso está relacionado ao princípio da conservação de energia. A quantidade de calor rejeitada ($ Q_{rej} $) pode ser calculada pela diferença entre o calor fornecido à máquina e o trabalho realizado.
A relação é:
Como $ W = \eta \cdot Q_{forn} $, podemos substituir e obter:
Como estamos falando da eficiência máxima ($ \eta_{Carnot} $), substituímos:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a eficiência térmica real da planta é de $ 60% $ da eficiência máxima. Ou seja:
Com essa eficiência real, precisamos recalcular a taxa de calor rejeitado e também o aumento da temperatura do rio.
Passo 5
Primeiro, recalculamos $ Q_{rej, real} $ usando a eficiência real:
Substituindo $ \eta_{real} $:
Passo 6
Agora, para encontrar o aumento da temperatura do rio, usamos a fórmula da transferência de calor:
Onde:
- $ Q $ é a quantidade de calor,
- $ m $ é a massa da água,
- $ c $ é o calor específico da água,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Primeiro, precisamos relacionar a vazão volumétrica ($ \dot{V} $) à massa:
Onde $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $).
Substituindo na equação de calor:
Desse jeito, podemos isolar $ \Delta T $:
Passo 7
Agora, juntando tudo, vamos calcular os valores finais:
- Eficiência térmica máxima ($ \eta_{Carnot} $): usando as temperaturas fornecidas.
- Taxa mínima de transferência de calor ($ Q_{rej} $): usando $ \eta_{Carnot} $ e os valores de $ Q_{forn} $.
- Taxa de calor rejeitado com eficiência real ($ Q_{rej, real} $): usando $ \eta_{real} $.
- Aumento de temperatura do rio ($ \Delta T $): usando $ Q_{rej, real} $, a vazão volumétrica e as propriedades da água.
Resposta
A eficiência térmica máxima possível da planta é dada pela eficiência de Carnot, calculada como $ \eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_{fria}}{T_{quente}} $. A mínima taxa de transferência de calor que deve ser descartada para o rio é $ Q_{rej} = Q_{forn} \cdot \frac{T_{fria}}{T_{quente}} $.
Para a parte (b), com uma eficiência real de $ 60% $ da máxima, a taxa de calor descartado é $ Q_{rej, real} = Q_{forn} \cdot \left(1 - 0,6 \cdot \eta_{Carnot}\right) $ e o aumento da temperatura do rio é $ \Delta T = \frac{Q_{rej, real}}{\dot{V} \cdot \rho \cdot c} $, considerando uma vazão volumétrica de $ 165 , m^3/s $.