Um determinado gás possui uma temperatura de Boyle de - 166,15{ }^{\circ} \mathrm{C}. Nas condições normais de temperatura e pressão, o valor do fator de compressibilidade para este gás é de, aproximadamente, 1,00054 . Baseado nestes dados, faça uma estimativa dos valores das constantes " a " e " b " de van der Waals para este gás.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura de Boyle \;T_B=-166,15^\circ\mathrm{C} (ou seja \;T_B=107,0\:\mathrm{K}) e o fator de compressibilidade em CNTP \;Z=1,00054 a p=1\:\mathrm{atm} e T=273,15\:\mathrm{K}. Queremos estimar as constantes de van der Waals a e b usando a relação de Boyle e a expansão virial para baixas pressões.

Passo 2

Para gases reais em baixas pressões, a expansão do fator de compressibilidade é
Z \approx 1 + \frac{B_2(T)\,p}{R\,T},
onde B_2(T) é o segundo coeficiente virial. Além disso, na equação de van der Waals, a temperatura de Boyle satisfaz
B_2(T_B)=0 \quad\Longrightarrow\quad T_B=\frac{a}{b\,R}.

Passo 3

Primeiro calculamos B_2 em CNTP a partir de
B_2(T)=\bigl(Z-1\bigr)\frac{R\,T}{p}.
Usando Z-1=0,00054, R=0,08314\:\mathrm{L\,bar/(mol\,K)}, T=273,15\:\mathrm{K} e p\approx1,00\:\mathrm{bar}, temos
B_2(273{,}15) =0,00054\cdot\frac{0,08314\cdot273,15}{1,00} \approx0,0123\:\mathrm{L/mol}.

Passo 4

Sabendo que para van der Waals
B_2(T)=b-\frac{a}{R\,T}
e usando a=b\,R\,T_B, obtemos
B_2(T) = b - \frac{b\,R\,T_B}{R\,T} = b\Bigl(1-\frac{T_B}{T}\Bigr).
Logo
b =\frac{B_2(273{,}15)}{1 - \frac{T_B}{273{,}15}} =\frac{0,0123}{1 - \frac{107{,}0}{273{,}15}} \approx0,0202\:\mathrm{L/mol}.

Passo 5

Finalmente, pela definição de temperatura de Boyle,
a = b\,R\,T_B =0,0202\cdot0,08314\cdot107{,}0 \approx0,18\:\mathrm{L^2\,bar/mol^2}.

Resposta

a\approx0,18\:\mathrm{L^2\,bar/mol^2} b\approx0,0202\:\mathrm{L/mol}

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