Determinar a tensão de cisalhamento máxima no eixo com seção transversal circular de raio r e sujeito à força cortante \mathbf{V}. Expressar a resposta em termos da área A da seção transversal.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima numa barra com seção transversal circular de raio \,r sujeita a uma força cortante \mathbf{V}. Deve-se expressar a resposta em termos da área da seção transversal A.
Informações relevantes fornecidas: \,r (raio da seção), \mathbf{V} (força cortante) e A (área da seção, que para círculo vale A=\pi r^{2}). A incógnita é \tau_{\max}, a tensão de cisalhamento máxima na seção.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de cisalhamento em vigas (fórmula de Navier/Bredt para tensões cortantes em seções pranchadas):
\tau = \frac{V\,Q}{I\,t},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento na fibra considerada;
  • V é a força cortante resultante aplicada à seção;
  • Q é o primeiro momento da área da porção da seção que fica por um lado da linha onde se calcula \tau (isto é, Q=\int_A \bar{y}\,dA, onde \bar{y} é a distância do elemento de área ao eixo neutro da porção considerada);
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro (aqui o eixo horizontal que passa pelo centro);
  • t é a espessura da seção cortada na posição considerada (largura da fatia, no círculo é o comprimento da corda nessa ordenada).
Vou explicar cada termo e calcular os que precisamos para encontrar \tau_{\max}.

Passo 3

A tensão de cisalhamento atingirá seu valor máximo ao longo da linha neutra (no centro da seção, \,y=0), por isso calculamos \tau nessa posição. Nessa ordenada:
  • a largura (espessura) da fatia é a corda máxima do círculo: \,t(0)=2r;
  • o primeiro momento Q será o primeiro momento da meia-seção superior em relação ao eixo neutro (área da semicircunferência superior vezes a distância do seu centróide ao eixo neutro);
  • o momento de inércia I da seção inteira é o momento de inércia do círculo em relação ao diâmetro.

Passo 4

Calcular Q na linha neutra. A porção superior é uma semicircunferência de área
A_{\text{meia}}=\frac{\pi r^{2}}{2}.
A distância do centróide dessa meia-seção ao eixo neutro (medida ao longo do raio) é conhecida e pode ser obtida por integral; vamos calcular por integral para entender bem:
O centróide da meia-seção, medido a partir do eixo plano (reta que corta o círculo ao meio), é
\bar{y}=\frac{1}{A_{\text{meia}}}\int_{0}^{r} y\cdot \bigl(2\sqrt{r^{2}-y^{2}}\bigr)\,dy.
Aqui 2\sqrt{r^{2}-y^{2}} é a largura da fatia horizontal a uma distância y do eixo neutro. Calcule a integral com a substituição u=r^{2}-y^{2}, du=-2y\,dy:
\int_{0}^{r} y\cdot 2\sqrt{r^{2}-y^{2}}\,dy = \int_{u=r^{2}}^{0} -\sqrt{u}\,du = \int_{0}^{r^{2}} \sqrt{u}\,du = \left.\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{r^{2}} = \tfrac{2}{3}r^{3}.
Portanto
\bar{y}=\frac{\tfrac{2}{3}r^{3}}{\tfrac{\pi r^{2}}{2}}=\frac{4r}{3\pi}.
Agora o primeiro momento da meia-seção em relação ao eixo neutro é
Q_{\max}=A_{\text{meia}}\cdot \bar{y} =\frac{\pi r^{2}}{2}\cdot\frac{4r}{3\pi} =\frac{2r^{3}}{3}.

Passo 5

O momento de inércia da seção circular inteira em relação ao diâmetro (eixo neutro) é uma fórmula padrão (pode-se derivar por integração):
I=\frac{\pi r^{4}}{4}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula \tau=\dfrac{VQ}{I t} na linha neutra usando Q_{\max}, I e t(0)=2r:
\tau_{\max} = \frac{V\cdot Q_{\max}}{I\cdot t(0)} = \frac{V\cdot \dfrac{2r^{3}}{3}}{\dfrac{\pi r^{4}}{4}\cdot 2r}.
Simplificamos passo a passo:
\frac{2r^{3}/3}{(\pi r^{4}/4)\cdot 2r} =\frac{2r^{3}}{3}\cdot\frac{1}{2r}\cdot\frac{4}{\pi r^{4}} =\frac{2r^{3}}{3}\cdot\frac{4}{2\pi r^{5}} =\frac{4}{3\pi r^{2}}.
Logo
\tau_{\max}=\frac{4V}{3\pi r^{2}}.
Como a área da seção é A=\pi r^{2}, substituímos para escrever em termos de A:
\tau_{\max}=\frac{4V}{3A}.

Passo 7

Resumo do raciocínio (óptimo para gravar na prova): usar \tau=VQ/(I t), calcular Q da meia-seção com integral (ou usar Q=(\pi r^{2}/2)\cdot(4r/3\pi)=2r^{3}/3), usar I=\pi r^{4}/4 e t(0)=2r, e simplificar para obter \tau_{\max}=4V/(3A). Força extra: isto mostra que a tensão de cisalhamento máxima é 4/3 vezes a tensão média V/A.

Resposta

\displaystyle \tau_{\max}=\frac{4V}{3A}

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