Determine a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e
.\n
Informações relevantes dadas no enunciado:\n
Informações relevantes dadas no enunciado:\n
- As três curvas são
, e .\n - A região é a parte do plano delimitada pelas três curvas (ou seja, o polígono curvo formado pelas interseções entre elas e os segmentos/raízes entre essas interseções).\n
O objetivo: identificar corretamente a região limitada e calcular sua área.
Passo 2
Encontrar as interseções relevantes entre as curvas.\n
- Interseção entre
e :\n
Nesse ponto
. Logo
.\n
2) Interseção entre e
:\n
2) Interseção entre
Denotando
, o ponto é
.\n
As duas retas e
se encontram na origem
. Portanto a região limitada é fechada pelos segmentos/rayos
(reta
), pelo arco da curva
de
a
e pelo segmento/raio
(reta
).
As duas retas
Passo 3
Escolha do método e descrição da região para integração.\n
Vou usar integração em (fatias verticais). Para cada valor de
entre
e
vamos ver quais são os limites em
que pertencem à região:\n
Vou usar integração em
- Para
temos (teste: em dá e ), logo o teto da região é e o piso é . Assim a fatia vertical tem altura .\n - Para
temos (teste: em dá , , ), logo o teto é e o piso é . Assim a fatia vertical tem altura .\n
Paranão há pontos comuns às três curvas que fechem a região. Então o domínio em da região é com quebra em .\n
Portanto a áreaé a soma de duas integrais:\n
Passo 4
Calcular a primeira integral (parte entre
e
).\n
A primeira integral é\n
A primeira integral é\n
Passo 5
Calcular a segunda integral (parte entre
e
).\n
Antiderivadas:\n
Antiderivadas:\n
Logo\n
Avaliação em
e em
:\n
Passo 6
Somar as duas contribuições e simplificar, substituindo
.\n
A área total é\n
A área total é\n
Agrupando termos com
:
. Assim\n
Substituindo
:\n
Portanto\n
Escrevendo com raízes cúbicas (para ficar mais reconhecível):
e
. Então\n
Valor numérico aproximado (para conferência):
.