Determine a área da região limitada pelas curvas y = \frac{1}{x^2}, y = x e y = 4x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\dfrac{1}{x^{2}}, y=x e y=4x.\n
Informações relevantes dadas no enunciado:\n
  • As três curvas são y=\dfrac{1}{x^{2}}, y=x e y=4x.\n
  • A região é a parte do plano delimitada pelas três curvas (ou seja, o polígono curvo formado pelas interseções entre elas e os segmentos/raízes entre essas interseções).\n
    O objetivo: identificar corretamente a região limitada e calcular sua área.

Passo 2

Encontrar as interseções relevantes entre as curvas.\n
  1. Interseção entre y=\dfrac{1}{x^{2}} e y=x:\n
\dfrac{1}{x^{2}}=x \implies x^{3}=1 \implies x=1.
Nesse ponto y=1. Logo Q=(1,1).\n
2) Interseção entre y=\dfrac{1}{x^{2}} e y=4x:\n
\dfrac{1}{x^{2}}=4x \implies 4x^{3}=1 \implies x^{3}=\dfrac{1}{4} \implies x=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1/3}.
Denotando x_{1}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1/3}=2^{-2/3}, o ponto é P=\bigl(x_{1},4x_{1}\bigr).\n
As duas retas y=x e y=4x se encontram na origem O=(0,0). Portanto a região limitada é fechada pelos segmentos/rayos O\to P (reta y=4x), pelo arco da curva y=\dfrac{1}{x^{2}} de P a Q e pelo segmento/raio Q\to O (reta y=x).

Passo 3

Escolha do método e descrição da região para integração.\n
Vou usar integração em x (fatias verticais). Para cada valor de x entre 0 e 1 vamos ver quais são os limites em y que pertencem à região:\n
  • Para 0\le x\le x_{1} temos \dfrac{1}{x^{2}}\ge 4x (teste: em x=0{,}4 1/x^{2}=6{,}25 e 4x=1{,}6), logo o teto da região é y=4x e o piso é y=x. Assim a fatia vertical tem altura 4x-x=3x.\n
  • Para x_{1}\le x\le 1 temos x\le \dfrac{1}{x^{2}}\le 4x (teste: em x=0{,}8 1/x^{2}=1{,}5625, x=0{,}8, 4x=3{,}2), logo o teto é y=\dfrac{1}{x^{2}} e o piso é y=x. Assim a fatia vertical tem altura \dfrac{1}{x^{2}}-x.\n
    Para x>1 não há pontos comuns às três curvas que fechem a região. Então o domínio em x da região é [0,1] com quebra em x=x_{1}.\n
    Portanto a área A é a soma de duas integrais:\n
A=\int_{0}^{x_{1}} \bigl(4x-x\bigr)\,dx \;+\; \int_{x_{1}}^{1} \left(\dfrac{1}{x^{2}}-x\right)\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral (parte entre 0 e x_{1}).\n
A primeira integral é\n
\int_{0}^{x_{1}} 3x\,dx = 3\cdot \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{x_{1}} = \dfrac{3}{2}\,x_{1}^{2}.

Passo 5

Calcular a segunda integral (parte entre x_{1} e 1).\n
Antiderivadas:\n
\int x^{-2}\,dx = -x^{-1},\qquad \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}.
Logo\n
\int_{x_{1}}^{1}\!\left(x^{-2}-x\right)\,dx = \left[-x^{-1}-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{x_{1}}^{1}.
Avaliação em 1 e em x_{1}:\n
\left(-1-\dfrac{1}{2}\right)-\left(-\dfrac{1}{x_{1}}-\dfrac{x_{1}^{2}}{2}\right) = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{x_{1}^{2}}{2}.

Passo 6

Somar as duas contribuições e simplificar, substituindo x_{1}=2^{-2/3}.\n
A área total é\n
A=\dfrac{3}{2}x_{1}^{2} \;+\; \left(-\dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{x_{1}^{2}}{2}\right).
Agrupando termos com x_{1}^{2}: \dfrac{3}{2}x_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}x_{1}^{2}=2x_{1}^{2}. Assim\n
A = 2x_{1}^{2} + \dfrac{1}{x_{1}} - \dfrac{3}{2}.
Substituindo x_{1}=2^{-2/3}:\n
x_{1}^{2}=2^{-4/3},\qquad \dfrac{1}{x_{1}}=2^{2/3}.
Portanto\n
A = 2\cdot 2^{-4/3} + 2^{2/3} - \dfrac{3}{2} = 2^{-1/3} + 2^{2/3} - \dfrac{3}{2}.
Escrevendo com raízes cúbicas (para ficar mais reconhecível): 2^{2/3}=\sqrt[3]{4} e 2^{-1/3}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}. Então\n
A = \sqrt[3]{4} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} - \dfrac{3}{2}.
Valor numérico aproximado (para conferência): \;A\approx 0{,}8811.

Resposta

\displaystyle A=\sqrt[3]{4}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}-\dfrac{3}{2}\n
\displaystyle A\approx 0{,}8811

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