Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + 2x e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano limitada pela parábola y=-x^2+2x e pela reta y=0. Para resolver isso, vamos usar o método de área por integração, integrando a diferença entre a curva superior e a curva inferior sobre o intervalo de interesse.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção entre as duas curvas resolvendo
-x^2+2x=0
x(2-x)=0
Logo, x=0 ou x=2.

Passo 3

Nesse intervalo de x=0 até x=2, a curva superior é y=-x^2+2x e a inferior é y=0. Assim, a área A é
A = \int_{0}^{2}\bigl[(-x^2+2x)-0\bigr]\,dx.

Passo 4

Calculando a integral:
\int_{0}^{2}(-x^2+2x)\,dx =\Bigl[-\tfrac{x^3}{3}+x^2\Bigr]_{0}^{2} =-\tfrac{8}{3}+4 =\tfrac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{4}{3}

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