Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + 3x e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=-x^2+3x e y=0. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre curvas no plano, usando integrais definidas e a ideia de que a área vale a integral do valor superior menos o inferior no intervalo de interseção.

Passo 2

Para achar os limites de integração, determinamos onde as curvas se cruzam, resolvendo
-x^2+3x = 0.
Fatorando, fica x(3 - x)=0, logo as raízes são
x=0\quad\text{e}\quad x=3.

Passo 3

A área procurada é
\text{Área} = \int_{0}^{3} \bigl[(-x^2+3x) - 0\bigr]\,dx = \int_{0}^{3} (-x^2+3x)\,dx.Á

Passo 4

Calculamos a antiderivada de -x^2+3x:
\int (-x^2+3x)\,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}.

Passo 5

Avalia-se de 0 a 3:
\left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{3} = \Bigl(-\frac{27}{3} + \frac{3\cdot9}{2}\Bigr) - 0 = \bigl(-9 + \tfrac{27}{2}\bigr) = -9 + 13{,}5 = 4{,}5.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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