Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + x e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=-x^2+x e y=0. Isso é um problema de cálculo de área entre duas curvas, que fazemos encontrando os pontos de interseção e integrando a diferença das funções no intervalo determinado.

Passo 2

Para achar os limites de integração, resolvemos
-x^2 + x = 0
ou seja
x(1 - x) = 0
logo os pontos de interseção são x=0 e x=1.

Passo 3

A área é dada por
\int_{0}^{1} \bigl[(-x^2 + x) - 0\bigr]\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(-x^2 + x\bigr)\,dx.
Calculando:
\int_{0}^{1} (-x^2 + x)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \Bigl(-\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2}\Bigr) = \frac{-2 + 3}{6} = \frac{1}{6}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{1}{6}.

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