Sejam
e
três variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Explore a simetria do problema para calcular
Passo 1
O enunciado dá três variáveis aleatórias
,
e
que são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). O que se pede é calcular a expectativa
isto é,
. Vou assumir que o problema está bem formulado, isto é, que a soma
é diferente de zero com probabilidade 1 ou que a razão é integrável, de modo que a expectativa exista.
Passo 2
Defino a soma
Note a identidade (válida sempre que
):
Essa igualdade é apenas a divisão da soma pela mesma soma — simples e direta.
Passo 3
Agora tomo esperanças em ambos os lados da identidade. A esperança (expectation) é linear, isto é, para variáveis aleatórias
e
com esperanças finitas vale
Aplicando linearidade ao lado esquerdo obtemos
Como
, isso dá
Passo 4
Use a simetria do problema:
,
e
são i.i.d., então a distribuição conjunta é invariante por permutações dos índices. Assim, os três termos
,
e
devem ser iguais. Chamo esse valor comum de
:
Passo 5
Substituindo na soma obtida no Passo 3:
Portanto