Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Explore a simetria do problema para calcular
\left\langle\frac{X}{X+Y+Z}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá três variáveis aleatórias X, Y e Z que são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). O que se pede é calcular a expectativa
\left\langle\frac{X}{X+Y+Z}\right\rangle,
isto é, \mathbb{E}\!\left[\dfrac{X}{X+Y+Z}\right]. Vou assumir que o problema está bem formulado, isto é, que a soma X+Y+Z é diferente de zero com probabilidade 1 ou que a razão é integrável, de modo que a expectativa exista.

Passo 2

Defino a soma
S := X+Y+Z.
Note a identidade (válida sempre que S\neq0):
\frac{X}{S}+\frac{Y}{S}+\frac{Z}{S} = \frac{X+Y+Z}{S} = 1.
Essa igualdade é apenas a divisão da soma pela mesma soma — simples e direta.

Passo 3

Agora tomo esperanças em ambos os lados da identidade. A esperança (expectation) é linear, isto é, para variáveis aleatórias U e V com esperanças finitas vale
\mathbb{E}[U+V]=\mathbb{E}[U]+\mathbb{E}[V].
Aplicando linearidade ao lado esquerdo obtemos
\mathbb{E}\!\left[\frac{X}{S}\right] + \mathbb{E}\!\left[\frac{Y}{S}\right] + \mathbb{E}\!\left[\frac{Z}{S}\right] = \mathbb{E}\!\left[1\right].
Como \mathbb{E}[1]=1, isso dá
\mathbb{E}\!\left[\frac{X}{S}\right] + \mathbb{E}\!\left[\frac{Y}{S}\right] + \mathbb{E}\!\left[\frac{Z}{S}\right] = 1.

Passo 4

Use a simetria do problema: X, Y e Z são i.i.d., então a distribuição conjunta é invariante por permutações dos índices. Assim, os três termos \mathbb{E}\!\left[\dfrac{X}{S}\right], \mathbb{E}\!\left[\dfrac{Y}{S}\right] e \mathbb{E}\!\left[\dfrac{Z}{S}\right] devem ser iguais. Chamo esse valor comum de m:
\mathbb{E}\!\left[\frac{X}{S}\right]=\mathbb{E}\!\left[\frac{Y}{S}\right]=\mathbb{E}\!\left[\frac{Z}{S}\right]=m.

Passo 5

Substituindo na soma obtida no Passo 3:
m+m+m = 1 \quad\Rightarrow\quad 3m=1.
Portanto
m = \frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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