O processo de geração de potência em um motor de combustão interna a gasolina, que é realizado pelos gases de combustão a alta temperatura e pressão, pode ser modelado como a expansão adiabática e reversível do ar no ciclo Otto ideal. O processo se inicia no Estado 3 (ponto de maior temperatura e pressão) e se encerra no Estado 4 (fim da expansão). Se a razão de compressão desse motor for
(ou seja,
), determine a temperatura do ar no final da expansão (
) se as condições iniciais (Estado 3) forem
e
, considerando:
Calores específicos do ar variando com a temperatura.
Calores específicos do ar variando com a temperatura.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura do ar no final da expansão adiabática e reversível (Estado 4) num ciclo Otto ideal, sabendo que a expansão parte do Estado 3 (ponto de maior temperatura e pressão) e que:
- razão de volumes
, - temperatura no Estado 3:
, - pressão no Estado 3:
, - os calores específicos do ar variam com a temperatura (ou seja, devemos considerar
e ).
Informações relevantes que usarei (não é pedido pelo enunciado, mas são necessárias para resolver o problema): vou tratar o ar como gás ideal e usar a constante específica do ar
. O objetivo final é determinar
.
Passo 2
Princípio físico e equação fundamental que vamos usar (explicadinha passo a passo).
Para um gás ideal, a variação de entropia pode ser escrita em função de e
(volume específico) como
Para um gás ideal, a variação de entropia pode ser escrita em função de
Isto vem da primeira lei da termodinâmica e da relação
para gás ideal; aqui
é o calor específico a volume constante, que depende de
. Integrando entre os estados 3 e 4:
Como o processo é adiabático e reversível, a entropia é constante,
. Logo obtemos a equação fundamental para este problema:
Reescrevendo isolando a integral e usando
:
Como
(expansão), é prático integrar do menor para o maior e escrever
Observação sobre
: temos
. Assim, se tivermos uma tabela/expressão para
podemos obter
facilmente. O lado direito é conhecido (depende só de
e
); o lado esquerdo é uma integral imprópria que precisa ser avaliada numericamente porque
varia com
.
Passo 3
Cálculo do termo da direita (valor numérico que a integral deve igualar).
Usando e
,
Usando
Calculemos:
Portanto precisamos encontrar
tal que
Passo 4
Escolha dos dados de
e estratégia numérica.
Vou usar uma aproximação típica de para o ar (valores convencionais aproximados) em unidades de
. Esses valores são usados aqui para avaliar numericamente a integral; são aproximações de tabelas de propriedades padrão:
Vou usar uma aproximação típica de
Tabela de
utilizada:
Explicação: os números acima são valores aproximados de referência para o ar (mistura de
e
) e mostram como
cresce com a temperatura. A partir desses pontos farei interpolações lineares e aplicarei a regra trapezoidal para aproximar a integral
, lembrando que
com
.
Método numérico: para uma dada hipótese de
(menor que
), calculo os valores de
nos nós (incluindo
e os pontos da tabela) e somo os produtos pela largura de cada intervalo (regra trapezoidal). Em seguida ajusto
por tentativa (iteração simples) até que a integral aproxime
. Vou mostrar a iteração que chega à solução.
Passo 5
Primeira iteração — estimativa inicial usando
constante (para dar um chute inicial).
Se usássemos constante (apenas estimativa rápida), teríamos a relação isentrópica simples
. Tomando
(valor típico para ar a alta temperatura) obtemos
Se usássemos
Isso só serve como palpite inicial para a integração numérica (vamos refinar porque
varia com
).
Passo 6
Avaliação numérica detalhada e iteração para encontrar
.
Vou buscar por tentativa refinada. A integral a atingir é
. Para cada tentativa de
faço:
Vou buscar
- Construo os pontos de integração entre
e usando os nós da tabela e o próprio . - Em cada nó calculo
e depois . - Aplico regra trapezoidal sobre os subintervalos e somo os termos para obter
. - Ajusto
até que .
Vou mostrar a iteração que converge. Usei interpolação linear entre os nós da tabela para obter
em temperaturas intermediárias.
Tentativa com
(palpite inicial): calculei os valores nos nós e encontrei
que é menor que
. Como a integral diminui quando
aumenta, isto indica que devemos diminuir
(tornar o estado 4 mais frio) para aumentar a integral.
Tentativa com
: obtive
ainda um pouco menor que
.
Tentativa com
: obtive
agora ligeiramente maior que o alvo. Então a solução está entre
e
. Fazendo interpolação linear entre esses dois pontos (é uma aproximação razoável porque
varia quase linearmente com pequenas mudanças em
):
Dados:
Queremos
. Interpolando:
Calculando:
Logo
Refinamento rápido verificaria que
fica muito próximo do alvo; portanto a solução numérica convergente é
Obs.: descrevendo resumidamente os cálculos numéricos feitos: para
em torno de
eu calculei
por interpolação linear entre os pontos da tabela, calculei
, formei os valores
nos nós e apliquei a regra trapezoidal sobre os subintervalos (por exemplo: subintervalos
,
,
,
,
). A soma deu
; com pequenas interpolações cheguei a
.