O processo de geração de potência em um motor de combustão interna a gasolina, que é realizado pelos gases de combustão a alta temperatura e pressão, pode ser modelado como a expansão adiabática e reversível do ar no ciclo Otto ideal. O processo se inicia no Estado 3 (ponto de maior temperatura e pressão) e se encerra no Estado 4 (fim da expansão). Se a razão de compressão desse motor for r=8 (ou seja, V_{4} / V_{3}=8 ), determine a temperatura do ar no final da expansão ( T_{4} ) se as condições iniciais (Estado 3) forem T_{3}=1700 \mathrm{~K} e P_{3}=8 \mathrm{MPa}, considerando:
Calores específicos do ar variando com a temperatura.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura do ar no final da expansão adiabática e reversível (Estado 4) num ciclo Otto ideal, sabendo que a expansão parte do Estado 3 (ponto de maior temperatura e pressão) e que:
  • razão de volumes r=\dfrac{V_{4}}{V_{3}}=8,
  • temperatura no Estado 3: T_{3}=1700\\ \mathrm{K},
  • pressão no Estado 3: P_{3}=8\\ \mathrm{MPa},
  • os calores específicos do ar variam com a temperatura (ou seja, devemos considerar c_{p}=c_{p}(T) e c_{v}=c_{v}(T)).
Informações relevantes que usarei (não é pedido pelo enunciado, mas são necessárias para resolver o problema): vou tratar o ar como gás ideal e usar a constante específica do ar R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. O objetivo final é determinar T_{4}.

Passo 2

Princípio físico e equação fundamental que vamos usar (explicadinha passo a passo).
Para um gás ideal, a variação de entropia pode ser escrita em função de T e v (volume específico) como
\mathrm{d}s=\frac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T + R\,\frac{\mathrm{d}v}{v}.
Isto vem da primeira lei da termodinâmica e da relação p v = R T para gás ideal; aqui c_{v}(T) é o calor específico a volume constante, que depende de T. Integrando entre os estados 3 e 4:
s_{4}-s_{3}=\int_{T_{3}}^{T_{4}}\frac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T + R\ln\!\left(\frac{v_{4}}{v_{3}}\right).
Como o processo é adiabático e reversível, a entropia é constante, s_{4}-s_{3}=0. Logo obtemos a equação fundamental para este problema:
\int_{T_{3}}^{T_{4}}\frac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T + R\ln\!\left(\frac{v_{4}}{v_{3}}\right)=0.
Reescrevendo isolando a integral e usando v_{4}/v_{3}=r:
\int_{T_{3}}^{T_{4}}\frac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T = -R\ln r.
Como T_{4}<T_{3} (expansão), é prático integrar do menor para o maior e escrever
\int_{T_{4}}^{T_{3}}\frac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T = R\ln r.
Observação sobre c_{v}(T): temos c_{v}(T)=c_{p}(T)-R. Assim, se tivermos uma tabela/expressão para c_{p}(T) podemos obter c_{v}(T) facilmente. O lado direito é conhecido (depende só de R e r); o lado esquerdo é uma integral imprópria que precisa ser avaliada numericamente porque c_{v} varia com T.

Passo 3

Cálculo do termo da direita (valor numérico que a integral deve igualar).
Usando R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e r=8,
R\ln r = 0,287\cdot\ln 8.
Calculemos:
\ln 8 \approx 2,0794415\quad\Longrightarrow\quad R\ln r \approx 0,287\cdot 2,0794415 \approx 0,59636\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto precisamos encontrar T_{4} tal que
\int_{T_{4}}^{1700}\frac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T = 0,59636\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 4

Escolha dos dados de c_{p}(T) e estratégia numérica.
Vou usar uma aproximação típica de c_{p}(T) para o ar (valores convencionais aproximados) em unidades de \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Esses valores são usados aqui para avaliar numericamente a integral; são aproximações de tabelas de propriedades padrão:
Tabela de c_{p}(T) utilizada:
\begin{array}{c|ccccccccc} T\\ (\mathrm{K}) & 300 & 400 & 600 & 800 & 1000 & 1200 & 1400 & 1600 & 1800 \\\ \hline c_{p}\\ (\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}) & 1,005 & 1,012 & 1,022 & 1,036 & 1,055 & 1,078 & 1,106 & 1,139 & 1,176 \end{array}
Explicação: os números acima são valores aproximados de referência para o ar (mistura de N_{2} e O_{2}) e mostram como c_{p} cresce com a temperatura. A partir desses pontos farei interpolações lineares e aplicarei a regra trapezoidal para aproximar a integral \int_{T_{4}}^{T_{3}} \dfrac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T, lembrando que c_{v}(T)=c_{p}(T)-R com R=0,287.
Método numérico: para uma dada hipótese de T_{4} (menor que 1700), calculo os valores de \dfrac{c_{v}(T)}{T} nos nós (incluindo T_{4} e os pontos da tabela) e somo os produtos pela largura de cada intervalo (regra trapezoidal). Em seguida ajusto T_{4} por tentativa (iteração simples) até que a integral aproxime 0,59636\\ \mathrm{kJ/kg}. Vou mostrar a iteração que chega à solução.

Passo 5

Primeira iteração — estimativa inicial usando \gamma constante (para dar um chute inicial).
Se usássemos \gamma constante (apenas estimativa rápida), teríamos a relação isentrópica simples \dfrac{T_{4}}{T_{3}}=r^{\,1-\gamma}. Tomando \gamma\approx 1,33 (valor típico para ar a alta temperatura) obtemos
T_{4}\approx 1700\cdot 8^{\,1-1,33}=1700\cdot 8^{-0,33}\approx 1700/1,986\approx 855\\ \mathrm{K}.
Isso só serve como palpite inicial para a integração numérica (vamos refinar porque c_{p} varia com T).

Passo 6

Avaliação numérica detalhada e iteração para encontrar T_{4}.
Vou buscar T_{4} por tentativa refinada. A integral a atingir é I_{\text{alvo}}=0,59636\\ \mathrm{kJ/kg}. Para cada tentativa de T_{4} faço:
  1. Construo os pontos de integração entre T_{4} e 1700 usando os nós da tabela e o próprio T_{4}.
  2. Em cada nó calculo c_{v}(T)=c_{p}(T)-R e depois \dfrac{c_{v}(T)}{T}.
  3. Aplico regra trapezoidal sobre os subintervalos e somo os termos para obter I(T_{4})=\int_{T_{4}}^{1700}\dfrac{c_{v}(T)}{T}\,\mathrm{d}T.
  4. Ajusto T_{4} até que I(T_{4})\approx I_{\text{alvo}}.
Vou mostrar a iteração que converge. Usei interpolação linear entre os nós da tabela para obter c_{p} em temperaturas intermediárias.
Tentativa com T_{4}=855\\ \mathrm{K} (palpite inicial): calculei os valores nos nós e encontrei
I(855)\approx 0,55078\\ \mathrm{kJ/kg},
que é menor que I_{\text{alvo}}=0,59636. Como a integral diminui quando T_{4} aumenta, isto indica que devemos diminuir T_{4} (tornar o estado 4 mais frio) para aumentar a integral.
Tentativa com T_{4}=820\\ \mathrm{K}: obtive
I(820)\approx 0,58268\\ \mathrm{kJ/kg},
ainda um pouco menor que 0,59636.
Tentativa com T_{4}=805\\ \mathrm{K}: obtive
I(805)\approx 0,59685\\ \mathrm{kJ/kg},
agora ligeiramente maior que o alvo. Então a solução está entre 805\\ \mathrm{K} e 820\\ \mathrm{K}. Fazendo interpolação linear entre esses dois pontos (é uma aproximação razoável porque I(T_{4}) varia quase linearmente com pequenas mudanças em T_{4}):
Dados:
\begin{aligned} T_{4}^{(1)} &=805\\ \mathrm{K}, & I(805)&=0,59685,\\\ T_{4}^{(2)} &=820\\ \mathrm{K}, & I(820)&=0,58268. \end{aligned}
Queremos I=0,59636. Interpolando:
T_{4}\approx 805 + (0,59685-0,59636)\cdot\frac{820-805}{0,59685-0,58268}.
Calculando:
0,59685-0,59636=0,00049,\quad 0,59685-0,58268=0,01417,
\Delta T \approx 0,00049\cdot\frac{15}{0,01417}\approx 0,517\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{4}\approx 805 + 0,517 \approx 805,5\\ \mathrm{K}.
Refinamento rápido verificaria que I(805{,}5) fica muito próximo do alvo; portanto a solução numérica convergente é
T_{4}\approx 805{,}5\\ \mathrm{K}.
Obs.: descrevendo resumidamente os cálculos numéricos feitos: para T_{4} em torno de 805\\ \mathrm{K} eu calculei c_{p}(T) por interpolação linear entre os pontos da tabela, calculei c_{v}(T)=c_{p}(T)-0,287, formei os valores \dfrac{c_{v}(T)}{T} nos nós e apliquei a regra trapezoidal sobre os subintervalos (por exemplo: subintervalos 805\!-\!1000, 1000\!-\!1200, 1200\!-\!1400, 1400\!-\!1600, 1600\!-\!1700). A soma deu I(805)\approx0,59685; com pequenas interpolações cheguei a 805{,}5\\ \mathrm{K}.

Resposta

T_{4}\approx 805{,}5\\ \mathrm{K}

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