Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é simétrica à reta y = x em relação à origem.

Passo 1

O enunciado pede a reta que (i) passa por (1,2) e (ii) é a reflexão da reta y=x em relação à origem. O conteúdo aqui é “simetria central” (reflexão em torno da origem), que envia cada ponto (x,y) em (-x,-y).

Passo 2

Escrevemos a reta y=x em forma geral
x - y = 0.
Para refletir essa reta pela origem, basta aplicar (x,y)\mapsto(-x,-y) em sua equação.

Passo 3

Substituindo (x,y)=(-X,-Y) na equação x - y = 0, obtemos
(-X) - (-Y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -X + Y = 0 \quad\Longrightarrow\quad X - Y = 0.
Logo, a reta refletida é novamente
y = x.

Passo 4

Para cumprir também a condição de passar por (1,2), faríamos
2 \stackrel{?}{=} 1,
o que é impossível.

Resposta

Não existe reta que satisfaça simultaneamente as duas condições.

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