3.94 Determine a pressão, em lbffin, de etano \left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}\right) a 115^{\circ} \mathrm{F}\left(46,1^{\circ} \mathrm{C}\right) e um volume especifico de 0,3 \mathrm{kt} / \mathrm{bb}(0,02 \mathrm{~m} / \mathrm{kg})

Passo 1

O enunciado pede para determinar a pressão de etano \left(\mathrm{C}_{2}\mathrm{H}_{6}\right) nas condições:
T = 115^\circ\mathrm{F}\quad(\,46{,}1^\circ\mathrm{C}\,),
e volume específico
v = 0{,}3\\ \text{kt/bb}\\ (\;0{,}02\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\;).
A unidade de pressão solicitada é “lbffin” — vou interpretar isso como \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2 (psi), que é a forma comum de escrever pressão em libras-força por polegada quadrada.
Dados relevantes extraídos do enunciado: temperatura T e volume específico v (usei o valor numérico 0{,}02\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} dado entre parênteses). Não foram fornecidos fatores de compressibilidade ou tabelas, então adotarei um modelo inicial para calcular a pressão (explico a escolha no passo seguinte).

Passo 2

Decisão do método: como o enunciado não exige um método específico e não fornece tabelas de fator de compressibilidade, uso a Lei dos Gases Ideais como primeiro modelo:
pV_m = RT,
onde p é a pressão (Pa), V_m é o volume molar \left(\mathrm{m}^3/\mathrm{mol}\right), R é a constante universal dos gases \left(8{,}3144621\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K})\right) e T é a temperatura absoluta (K). Vou explicar passo a passo cada conversão e cálculo. Observação importante (didática): a Lei dos Gases Ideais assume comportamento ideal; se o gás estiver próximo às condições críticas, haverá desvio (vou checar isso depois e comentar como refinar).

Passo 3

Converter a temperatura para Kelvin:
T = 46{,}1^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 319{,}25\\ \mathrm{K}.
Explanação: para usar a fórmula pV_m=RT precisamos de temperatura absoluta em kelvin; T(\mathrm{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.

Passo 4

Calcular a massa molar do etano \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6. Componentes: carbono \approx 12{,}011\\ \mathrm{g/mol} e hidrogênio \approx 1{,}008\\ \mathrm{g/mol}. Então
M = 2\cdot 12{,}011 + 6\cdot 1{,}008 = 30{,}070\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}030070\\ \mathrm{kg/mol}.
Explicação: massa molar M é a massa de uma mole do composto; precisamos dela para transformar volume específico (m^3/kg) em volume molar (m^3/mol).

Passo 5

Calcular o volume molar V_m a partir do volume específico v:
V_m = v \cdot M.
Substituindo os valores:
V_m = 0{,}02\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} \times 0{,}030070\\ \mathrm{kg/mol} = 6{,}014\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Comentário: V_m é o volume ocupado por uma mole do gás nas condições dadas.

Passo 6

Aplicar a lei dos gases ideais para encontrar a pressão em pascals:
p = \frac{RT}{V_m}.
Aqui R = 8{,}3144621\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}) e T = 319{,}25\\ \mathrm{K}. Primeiro calcule RT:
RT = 8{,}3144621\times 319{,}25 = 2\,654{,}34\\ \mathrm{J/mol} \;(\text{ou }\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3/\mathrm{mol}).
Agora a pressão:
p = \frac{2\,654{,}34}{6{,}014\times 10^{-4}} = 4{,}412\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Detalhe de unidades: J/mol dividido por \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} resulta em \mathrm{Pa} (porque 1\\ \mathrm{Pa} = 1\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 = 1\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^3).

Passo 7

Converter a pressão de pascal para \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2 (psi). A relação é
1\\ \mathrm{psi} = 1\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2 = 6\,894{,}757\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
p = \frac{4{,}412\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}}{6\,894{,}757\\ \mathrm{Pa/psi}} = 640{,}2\\ \mathrm{psi}.
Interpretação: esse é o valor obtido pelo modelo de gás ideal.

Passo 8

Discussão didática sobre precisão e não-idealidade (muito importante para a prova): verifique se o gás pode ser tratado como ideal. As constantes críticas do etano são aproximadamente
T_c \approx 305{,}32\\ \mathrm{K},\qquad p_c \approx 4{,}872\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}\\ (4{,}872\\ \mathrm{MPa}).
Calcule a temperatura reduzida e a pressão reduzida (usando a pressão obtida):
T_r = \frac{T}{T_c} = \frac{319{,}25}{305{,}32} \approx 1{,}045,
p_{\text{estim}}/p_c = \frac{4{,}412\times 10^{6}}{4{,}872\times 10^{6}} \approx 0{,}905.
Comentário: T_r próximo de 1 e p/p_c em torno de 0{,}9 indicam que o gás está em região onde ocorrem desvios significativos do comportamento ideal. Isso significa que o valor real da pressão pode diferir do valor ideal calculado — tipicamente usa-se fator de compressibilidade Z (a partir de carta de compressibilidade ou de uma equação de estado como Peng–Robinson) e a relação real é
p = Z\frac{RT}{V_m}.
Se Z<1 (comum nessa região), a pressão real seria menor que o valor ideal. Se você precisa de maior precisão na prova e houver tabela/carta de Z ou se for pedido usar uma EoS, substitua Z e recalcule. Mas sem esses dados, o cálculo com gás ideal é o procedimento padrão inicial.

Resposta

640{,}2\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2

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