Determine e esboce as componentes pares e ímpares de:
\operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right) u(t)

Passo 1

O que a questão pede e o que foi dado:
  • Pede-se determinar (ou seja, encontrar as expressões analíticas) e esboçar as componentes par e ímpar da função x(t)=\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\,u(t).
  • Informação dada: x(t)=\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr) multiplicada pela função degrau unitário u(t). Lembrar que u(t)=1 para t>0 e u(t)=0 para t<0. O valor em t=0 depende da convenção (uma escolha comum é u(0)=\tfrac{1}{2}), mas isso afeta apenas um ponto isolado e não muda a forma geral das componentes.
  • A tarefa envolve (1) escrever explicitamente a componente par x_{e}(t) e a ímpar x_{o}(t) e (2) descrever/esboçar como elas se comportam no tempo.

Passo 2

Relembrando as definições (fórmulas-chave) e propriedades úteis — aula rápida:
  • Uma função f(t) é par se f(-t)=f(t). Uma função é ímpar se f(-t)=-f(t).
  • Qualquer função real x(t) pode ser decomposta unicamente como soma de uma parte par e uma parte ímpar:
x_{e}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}, \qquad x_{o}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}.
Essas fórmulas são fundamentais: x_{e} é simétrica e x_{o} é anti-simétrica; além disso x(t)=x_{e}(t)+x_{o}(t).
  • Também usaremos propriedades elementares: \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta) (seno é ímpar) e a relação entre degrau e sinal:
\operatorname{sgn}(t)=u(t)-u(-t),
onde \operatorname{sgn}(t) é a função sinal (valores \pm1 para t\neq0, e \operatorname{sgn}(0)=0 se u(0)=\tfrac{1}{2}).

Passo 3

Calcular x(-t) (passo necessário para aplicar as fórmulas decompostas):
x(-t)=\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0}(-t)\bigr)\,u(-t).
Usando que \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta), obtemos
x(-t)=-\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\,u(-t).
Esse resultado é simples mas essencial: o seno muda de sinal, e o degrau passa para u(-t).

Passo 4

Calcular a componente par usando a fórmula:
x_{e}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2} =\frac{\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\,u(t)-\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\,u(-t)}{2}.
Fatorando \operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr):
x_{e}(t)=\frac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\bigl(u(t)-u(-t)\bigr).
Reconhecendo u(t)-u(-t)=\operatorname{sgn}(t), temos uma forma conveniente:
x_{e}(t)=\frac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\,\operatorname{sgn}(t).
Agora simplificamos essa expressão para uma forma visivelmente par. Para t>0: \operatorname{sgn}(t)=1 e x_{e}(t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0} t). Para t<0: \operatorname{sgn}(t)=-1 e x_{e}(t)=-\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0} t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0}|t|). Assim, de forma compacta e explícita, fica
x_{e}(t)=\frac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0}|t|\bigr),
que é claramente uma função par (depende de |t|).

Passo 5

Calcular a componente ímpar usando a fórmula:
x_{o}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2} =\frac{\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\,u(t)+\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\,u(-t)}{2}.
Fatorando:
x_{o}(t)=\frac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr)\bigl(u(t)+u(-t)\bigr).
Observe que para todo t\neq0 vale u(t)+u(-t)=1 (pois se t>0 então u(t)=1,u(-t)=0; se t<0 então u(t)=0,u(-t)=1). Assim, para t\neq0,
x_{o}(t)=\frac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr).
Esse resultado é já uma função ímpar (seno multiplicado por constante). No ponto t=0 ambos os lados valem 0 porque \operatorname{sen}(0)=0, então a expressão vale globalmente:
x_{o}(t)=\frac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr).

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança e para a prova):
  • Soma das partes:
x_{e}(t)+x_{o}(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0}|t|\bigr)+\frac{1}{2}\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0} t\bigr).
Para t>0: |t|=t e a soma é \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0} t)+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0} t)=\operatorname{sen}(\omega_{0} t), ou seja, recupera x(t). Para t<0: |t|=-t então \operatorname{sen}(\omega_{0}|t|)=-\operatorname{sen}(\omega_{0} t) e a soma dá zero, que é x(t) nesse regime (pois u(t)=0). Bom sinal: as componentes somam certinho.
  • Paridade: x_{e}(-t)=x_{e}(t) (claro, aparece |t|); x_{o}(-t)=-x_{o}(t) (seno é ímpar). Tudo consistente.

Passo 7

Como esboçar as duas componentes (instruções práticas para a prova, sem desenhar):
  • Para t\ge 0 ambos x_{e}(t) e x_{o}(t) coincidem e valem \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0} t). Ou seja, no semi-eixo positivo ambas são meio-seno com amplitude máxima 1/2 e frequência \omega_{0}.
  • Para t<0:
    • x_{o}(t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0} t) continua como o seno (com metade da amplitude) atravessando a origem com a propriedade ímpar.
    • x_{e}(t)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(\omega_{0}|t|) é o espelhamento (par) do ramo t\ge0; ou seja, pega o meio-seno de t>0 e o reflete simetricamente para t<0.
  • Visual mental: imagine o seno com amplitude 1/2 que existe para todo t (essa é x_{o}). A componente par é o "valor positivo do meio-seno para t>0" espelhado para t<0 — no gráfico será igual ao meio-seno no lado direito e igual ao mesmo gráfico no lado esquerdo (mesma forma, sem mudança de sinal).
  • Dica de esboço rápido: trace \tfrac{1}{2}\sin(\omega_{0} t) para todo t (essa é x_{o}). Depois trace \tfrac{1}{2}\sin(\omega_{0} t) somente para t\ge0 e reflita esse pedaço para t<0 como positivo/negativo conforme \sin(\omega_{0}|t|) (essa é x_{e}). A soma ponto a ponto dá x(t), que para t<0 cancela (fica zero) e para t>0 duplica (fica seno inteiro).

Resposta

x_{e}(t)=\dfrac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0}|t|\bigr)\n x_{o}(t)=\dfrac{1}{2}\,\operatorname{sen}\bigl(\omega_{0}t\bigr)