Determine e esboce as componentes pares e ímpares de:
Passo 1
O que a questão pede e o que foi dado:
- Pede-se determinar (ou seja, encontrar as expressões analíticas) e esboçar as componentes par e ímpar da função
. - Informação dada:
multiplicada pela função degrau unitário . Lembrar que para e para . O valor em depende da convenção (uma escolha comum é ), mas isso afeta apenas um ponto isolado e não muda a forma geral das componentes. - A tarefa envolve (1) escrever explicitamente a componente par
e a ímpar e (2) descrever/esboçar como elas se comportam no tempo.
Passo 2
Relembrando as definições (fórmulas-chave) e propriedades úteis — aula rápida:
- Uma função
é par se . Uma função é ímpar se . - Qualquer função real
pode ser decomposta unicamente como soma de uma parte par e uma parte ímpar:
Essas fórmulas são fundamentais:
é simétrica e
é anti-simétrica; além disso
.
- Também usaremos propriedades elementares:
(seno é ímpar) e a relação entre degrau e sinal:
onde
é a função sinal (valores
para
, e
se
).
Passo 3
Calcular
(passo necessário para aplicar as fórmulas decompostas):
Usando que
, obtemos
Esse resultado é simples mas essencial: o seno muda de sinal, e o degrau passa para
.
Passo 4
Calcular a componente par usando a fórmula:
Fatorando
:
Reconhecendo
, temos uma forma conveniente:
Agora simplificamos essa expressão para uma forma visivelmente par. Para
:
e
. Para
:
e
. Assim, de forma compacta e explícita, fica
que é claramente uma função par (depende de
).
Passo 5
Calcular a componente ímpar usando a fórmula:
Fatorando:
Observe que para todo
vale
(pois se
então
; se
então
). Assim, para
,
Esse resultado é já uma função ímpar (seno multiplicado por constante). No ponto
ambos os lados valem
porque
, então a expressão vale globalmente:
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança e para a prova):
- Soma das partes:
Para
:
e a soma é
, ou seja, recupera
. Para
:
então
e a soma dá zero, que é
nesse regime (pois
). Bom sinal: as componentes somam certinho.
- Paridade:
(claro, aparece ); (seno é ímpar). Tudo consistente.
Passo 7
Como esboçar as duas componentes (instruções práticas para a prova, sem desenhar):
- Para
ambos e coincidem e valem . Ou seja, no semi-eixo positivo ambas são meio-seno com amplitude máxima e frequência . - Para
: -
continua como o seno (com metade da amplitude) atravessando a origem com a propriedade ímpar. -
é o espelhamento (par) do ramo ; ou seja, pega o meio-seno de e o reflete simetricamente para .
-
- Visual mental: imagine o seno com amplitude 1/2 que existe para todo
(essa é ). A componente par é o "valor positivo do meio-seno para " espelhado para — no gráfico será igual ao meio-seno no lado direito e igual ao mesmo gráfico no lado esquerdo (mesma forma, sem mudança de sinal). - Dica de esboço rápido: trace
para todo (essa é ). Depois trace somente para e reflita esse pedaço para como positivo/negativo conforme (essa é ). A soma ponto a ponto dá , que para cancela (fica zero) e para duplica (fica seno inteiro).