Determine a função de transferência de segunda ordem de um sistema que apresenta máximo sobressinal de 12.3% e um tempo de acomodação de 1 segundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a função de transferência de segunda ordem de um sistema que tem um máximo sobressinal de 12,3% e um tempo de acomodação de 1 segundo. Isso está relacionado ao estudo de sistemas dinâmicos na engenharia, especificamente como eles respondem a mudanças. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como máximo sobressinal, tempo de acomodação, fator de amortecimento (ζ) e frequência natural (ωₙ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o máximo sobressinal. O máximo sobressinal (Mp) é a diferença entre o valor máximo alcançado pela resposta do sistema e o valor final desejado, expressa em porcentagem. A fórmula que relaciona o máximo sobressinal com o fator de amortecimento é:
Mp = e^( -ζpiraiz1 - ζ^2 )
Onde:
  • é o máximo sobressinal em decimal (12,3% = 0,123)
  • é o fator de amortecimento

Passo 3

Vamos usar a fórmula do máximo sobressinal para encontrar o fator de amortecimento 0,123 = e^( -ζpiraiz1 - ζ^2 ) . Primeiro, substituímos ln(0,123) = -ζpiraiz1 - ζ^2 por 0,123:
-2,097 = -ζpiraiz1 - ζ^2
Para resolver essa equação para 2,097 = ζpiraiz1 - ζ^2 , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando o logaritmo:
Simplificando os sinais:

Passo 4

Agora, vamos isolar 2,097 raiz1 - ζ^2 = ζpi . Multiplicamos ambos os lados por 2,097pi raiz1 - ζ^2 = ζ :
approx 0,668 raiz1 - ζ^2 = ζ
Dividimos ambos os lados por (0,668)^2 (1 - ζ^2) = ζ^2 :
0,446 (1 - ζ^2) = ζ^2
Calculando 0,446 - 0,446 ζ^2 = ζ^2 :
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 5

Vamos reunir os termos semelhantes:
0,446 = ζ^2 + 0,446 ζ^2
0,446 = ζ^2 (1 + 0,446)
0,446 = ζ^2 times 1,446
Dividindo ambos os lados por 1,446:
ζ^2 = 0,4461,446
ζ^2 approx 0,308
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar ζ approx raiz0,308 :
ζ approx 0,554

Passo 6

Com o fator de amortecimento Ts = 4ζ omegan encontrado, vamos agora utilizar o tempo de acomodação (Ts) para encontrar a frequência natural 1 = 40,554 omegan . A fórmula que relaciona o tempo de acomodação com omegan = 40,554 times 1 e omegan approx 7,225 , rad/s é:
Substituindo segundo e :
Resolvendo para :

Passo 7

Agora que temos G(s) = omegan^2s^2 + 2ζomegan s + omegan^2 e G(s) = (7,225)^2s^2 + 2 times 0,554 times 7,225 , s + (7,225)^2 , podemos escrever a função de transferência de segunda ordem. A forma padrão da função de transferência é:
G(s) = 52,23s^2 + 8,02 , s + 52,23
Substituindo os valores encontrados:
Calculando os termos:

Resposta

A função de transferência de segunda ordem do sistema é:
G(s) = 52,23s^2 + 8,02, s + 52,23

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