Determine a função de transferência de segunda ordem de um sistema que apresenta máximo sobressinal de 12.3% e um tempo de acomodação de 1 segundo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a função de transferência de segunda ordem de um sistema que tem um máximo sobressinal de 12,3% e um tempo de acomodação de 1 segundo. Isso está relacionado ao estudo de sistemas dinâmicos na engenharia, especificamente como eles respondem a mudanças. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como máximo sobressinal, tempo de acomodação, fator de amortecimento (ζ) e frequência natural (ωₙ).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o máximo sobressinal. O máximo sobressinal (Mp) é a diferença entre o valor máximo alcançado pela resposta do sistema e o valor final desejado, expressa em porcentagem. A fórmula que relaciona o máximo sobressinal com o fator de amortecimento é:
Onde:
-
é o máximo sobressinal em decimal (12,3% = 0,123) -
é o fator de amortecimento
Passo 3
Vamos usar a fórmula do máximo sobressinal para encontrar o fator de amortecimento
. Primeiro, substituímos
por 0,123:
Para resolver essa equação para
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando o logaritmo:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Dividimos ambos os lados por
:
Calculando
:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 5
Vamos reunir os termos semelhantes:
Dividindo ambos os lados por 1,446:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Passo 6
Com o fator de amortecimento
encontrado, vamos agora utilizar o tempo de acomodação (Ts) para encontrar a frequência natural
. A fórmula que relaciona o tempo de acomodação com
e
é:
Substituindo
segundo e
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a função de transferência de segunda ordem. A forma padrão da função de transferência é:
Substituindo os valores encontrados:
Calculando os termos:
Resposta
A função de transferência de segunda ordem do sistema é: