Determine a impedância total em um circuito série com R =30 \Omega e XL =40 \Omega.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a impedância total de um circuito em série formado por um resistor com R=30\\ \Omega e uma reatância indutiva com X_L=40\\ \Omega. As informações relevantes são:
  • R=30\\ \Omega.
  • X_L=40\\ \Omega.
    A tarefa é combinar essas duas impedâncias em série e apresentar a impedância total (forma retangular e forma polar/afim de entender módulo e fase).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicado de forma simples):
  • Impedância é uma generalização da resistência quando há sinais senoidais; é um número complexo que combina parte real (resistiva) e parte imaginária (reativa).
  • Um resistor tem impedância puramente real: Z_R=R.
  • Um indutor, para uma frequência fixa, tem reatância indutiva X_L e impedância puramente imaginária positiva: Z_L=jX_L, onde j é a unidade imaginária usada em engenharia (equivalente ao i da matemática).
  • Em série, impedâncias somam-se algebricamente: impedância total Z=Z_R+Z_L.
    Isso significa que somamos a parte real com a parte imaginária separadamente, igual a somar vetores (como um triângulo retângulo).

Passo 3

Aplicando a regra de soma em série:
Z = Z_R + Z_L = R + jX_L.
Substituindo os valores dados:
Z = 30 + j\,40\\ \Omega.
Essa é a forma retangular (ou cartesiana) da impedância: parte real 30\\ \Omega e parte imaginária 40\\ \Omega.

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo (magnitute) da impedância, que é dado pela distância no plano complexo (teorema de Pitágoras):
|Z|=\sqrt{(\Re\{Z\})^{2}+(\Im\{Z\})^{2}}=\sqrt{R^{2}+X_{L}^{2}}.
Substituindo números:
|Z|=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\\ \Omega.
Isso significa que, em termos de “tamanho” da oposição ao fluxo de corrente, a impedância vale 50\\ \Omega.

Passo 5

Vamos calcular o ângulo de fase \varphi da impedância, que indica quanto a tensão na combinação está avançada/atrasada em relação à corrente. Para uma reatância indutiva a fase é positiva (tensão adianta a corrente). A fórmula é:
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\Im\{Z\}}{\Re\{Z\}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{X_{L}}{R}\right).
Substituindo:
\varphi=\arctan\!\left(\dfrac{40}{30}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{4}{3}\right).
Valor numérico aproximado:
\varphi\approx53,13^\circ\approx0,9273\\ \text{rad}.
Interpretação rápida: o ângulo positivo indica que a tensão total está adiantada em relação à corrente por aproximadamente 53,13^\circ.

Passo 6

Expressões finais em duas formas usuais:
  • Forma retangular (já obtida):
Z=30+j\,40\\ \Omega.
  • Forma polar (módulo \angle fase):
Z=50\angle53,13^\circ\\ \Omega\quad\text{(ou)}\quad Z=50\angle0,9273\\ \text{rad}\\ \Omega.

Resposta

Z=30+j\,40\\ \Omega
|Z|=50\\ \Omega,\\ \varphi\approx53,13^\circ