Determine o volume, em m³, ocupado por 40 kg de nitrogênio (N₂) a 17 MPa, 180 K
Passo 1
O que o problema pede: determinar o volume, em metros cúbicos, ocupado por
de nitrogênio (
) nas condições de pressão
e temperatura
.
Dados fornecidos:
Outras informações necessárias (valores conhecidos para o nitrogênio, usados adiante):
Observação: o enunciado não pede explicitamente qual equação usar. Vou explicar e justificar o método nos próximos passos.
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática):
- A forma mais simples seria usar a lei dos gases ideais
onde é o número de mols e a constante universal dos gases ( ).
Mas condições dadas têm pressão muito alta () e temperatura moderada ( ); comparando com os críticos do temos (muito acima de ), portanto o comportamento é claramente não ideal. Usar a lei dos gases ideais nesta situação pode levar a erro significativo. - Uma maneira prática e padrão em termodinâmica para gases reais é usar a equação de estado de Peng–Robinson (PR), que é relativamente simples e adequada para gases não-polares como
em altas pressões. A forma dependente do fator de compressibilidade nos permite calcular o volume real a partir de: onde é o volume molar e é o fator de compressibilidade obtido resolvendo o polinômio cúbico associado à PR. - Vou, portanto, usar a equação de Peng–Robinson e mostro passo a passo como calcular
, e o volume total.
Breve resumo da equação de Peng–Robinson (PR) em forma cúbica para
:
definimos
definimos
onde
e
são parâmetros da PR dados por
com
e
O fator de compressibilidade
é raiz real da cúbica (forma padrão PR):
Passo 3
Calcular o número de mols
a partir da massa:
Fazendo a conta:
(Guarde esse valor para obter o volume total depois.)
Passo 4
Calcular os parâmetros da Peng–Robinson passo a passo.
- Constante universal:
- Calcular
:
Computando:
- Redução da temperatura e
:
Calculando
, então
. Assim
- Calcular
e :
Primeiro calculei numericamente:
então
Multiplicando por
:
Para
:
Passo 5
Calcular os parâmetros adimensionais
e
e montar a cúbica em
.
- Calcular
e :
Com
,
,
,
,
- Coeficientes da cúbica PR:
Substituindo os valores:
Portanto a cúbica fica (numérica):
Passo 6
Resolver numericamente a cúbica para
(explicação curta sobre escolha da raiz):
- A equação cúbica pode ter uma ou três raízes reais. Em altas pressões e temperatura acima de
normalmente existe uma única raiz física representando a fase fluida. Procuramos a raiz positiva que tem sentido físico para volume molar. - Avaliando numericamente a cúbica por tentativa e erro (método rápido tipo bisseção/interpolação), encontra-se a raiz:
Detalhe do cálculo do volume molar:
Substituindo:
Passo 7
Calcular o volume total
multiplicando pelo número de mols
:
Fazendo a multiplicação:
Verificação rápida (checada): se tivéssemos usado o gás ideal,
e obteríamos um volume maior,
portanto o resultado real com PR (
) é menor que o ideal por
, o que faz sentido em condições de alta pressão.