Determine o volume, em m³, ocupado por 40 kg de nitrogênio (N₂) a 17 MPa, 180 K

Passo 1

O que o problema pede: determinar o volume, em metros cúbicos, ocupado por 40\\ \text{kg} de nitrogênio ( \mathrm{N_2}) nas condições de pressão 17\\ \text{MPa} e temperatura 180\\ \text{K}.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{massa: } m = 40\\ \text{kg},\\\ &\text{pressão: } P = 17\\ \text{MPa} = 17\times10^{6}\\ \text{Pa},\\\ &\text{temperatura: } T = 180\\ \text{K}. \end{aligned}ã
Outras informações necessárias (valores conhecidos para o nitrogênio, usados adiante):
\begin{aligned} &M(\mathrm{N_2}) = 28{,}0134\\ \text{g/mol} = 0{,}0280134\\ \text{kg/mol},\\\ &T_c = 126{,}2\\ \text{K},\quad P_c = 3{,}3958\\ \text{MPa} = 3{,}3958\times10^{6}\\ \text{Pa},\\\ &\omega\\ (\text{fator acêntrico}) = 0{,}0372. \end{aligned}ê
Observação: o enunciado não pede explicitamente qual equação usar. Vou explicar e justificar o método nos próximos passos.

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática):
  • A forma mais simples seria usar a lei dos gases ideais PV = nRT,onde n é o número de mols e R a constante universal dos gases ( R=8{,}3144626\\ \text{J/(mol·K)}).
    Mas condições dadas têm pressão muito alta ( 17\\ \text{MPa}) e temperatura moderada ( 180\\ \text{K}); comparando com os críticos do \mathrm{N_2} temos P/P_c \approx 5 (muito acima de 1), portanto o comportamento é claramente não ideal. Usar a lei dos gases ideais nesta situação pode levar a erro significativo.
  • Uma maneira prática e padrão em termodinâmica para gases reais é usar a equação de estado de Peng–Robinson (PR), que é relativamente simples e adequada para gases não-polares como \mathrm{N_2} em altas pressões. A forma dependente do fator de compressibilidade Z nos permite calcular o volume real a partir de: V_m = \frac{ZRT}{P},onde V_m é o volume molar e Z é o fator de compressibilidade obtido resolvendo o polinômio cúbico associado à PR.
  • Vou, portanto, usar a equação de Peng–Robinson e mostro passo a passo como calcular Z, V_m e o volume total.
Breve resumo da equação de Peng–Robinson (PR) em forma cúbica para Z:
definimos
A=\frac{aP}{R^{2}T^{2}},\qquad B=\frac{bP}{RT},
onde a e b são parâmetros da PR dados por
a = 0{,}45724\,\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}\,\alpha(T),\qquad b = 0{,}07780\,\frac{RT_c}{P_c},
com
\alpha(T)=\bigl[1+\kappa(1-\sqrt{T/T_c})\bigr]^{2},
e
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^{2}.
O fator de compressibilidade Z é raiz real da cúbica (forma padrão PR):
Z^{3} - (1-B)Z^{2} + (A - 3B^{2} - 2B)Z - (AB - B^{2} - B^{3}) = 0.

Passo 3

Calcular o número de mols n a partir da massa:
n=\frac{m}{M}=\frac{40\\ \text{kg}}{0{,}0280134\\ \text{kg/mol}}.
Fazendo a conta:
n \approx 1428{,}6\\ \text{mol}.
(Guarde esse valor para obter o volume total depois.)

Passo 4

Calcular os parâmetros da Peng–Robinson passo a passo.
  1. Constante universal:
R = 8{,}3144626\\ \text{J/(mol·K)}.
  1. Calcular \kappa:
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\cdot 0{,}0372 - 0{,}26992\cdot (0{,}0372)^{2}.
Computando:
\kappa \approx 0{,}37464 + 0{,}0573798 - 0{,}0003736 \approx 0{,}43165.
  1. Redução da temperatura e \alpha:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{180}{126{,}2}\approx 1{,}426,
\alpha = \bigl[1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr]^{2}.
Calculando \sqrt{T_r}\approx 1{,}194, então 1-\sqrt{T_r}\approx -0{,}194. Assim
\alpha \approx \bigl[1 + 0{,}43165\cdot(-0{,}194)\bigr]^{2}\approx (0{,}9163)^{2}\approx 0{,}8396.
  1. Calcular a e b:
a = 0{,}45724\,\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}\,\alpha,\qquad b = 0{,}07780\,\frac{RT_c}{P_c}.
Primeiro calculei numericamente:
R^{2}T_c^{2}\approx 1{,}10095\times 10^{6},
então
0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}\approx \frac{0{,}45724\cdot 1{,}10095\times10^{6}}{3{,}3958\times10^{6}}\approx 0{,}14836.
Multiplicando por \alpha:
a \approx 0{,}14836\cdot 0{,}8396 \approx 0{,}1246.
Para b:
RT_c \approx 8{,}3144626\cdot 126{,}2 \approx 1049{,}29,
b \approx 0{,}07780\cdot\frac{1049{,}29}{3{,}3958\times10^{6}} \approx 2{,}405\times10^{-5}\\ \text{m}^3/\text{mol}.

Passo 5

Calcular os parâmetros adimensionais A e B e montar a cúbica em Z.
  1. Calcular A e B:
A=\frac{aP}{R^{2}T^{2}},\qquad B=\frac{bP}{RT}.
Com a\approx 0{,}1246, b\approx 2{,}405\times10^{-5}, P=17\times10^{6}\\ \text{Pa}, RT\approx 1496{,}60,
B \approx \frac{2{,}405\times10^{-5}\cdot 17\times10^{6}}{1496{,}60}\approx 0{,}2733,
A \approx \frac{0{,}1246\cdot 17\times10^{6}}{(1496{,}60)^{2}}\approx 0{,}9457.
  1. Coeficientes da cúbica PR:
Z^{3} - (1-B)Z^{2} + (A - 3B^{2} - 2B)Z - (AB - B^{2} - B^{3}) = 0.
Substituindo os valores:
1-B \approx 0{,}7267,
A - 3B^{2} - 2B \approx 0{,}9457 - 3(0{,}2733^{2}) - 2(0{,}2733) \approx 0{,}1750,
AB - B^{2} - B^{3} \approx 0{,}1633.
Portanto a cúbica fica (numérica):
Z^{3} - 0{,}7267\,Z^{2} + 0{,}1750\,Z - 0{,}1633 = 0.

Passo 6

Resolver numericamente a cúbica para Z (explicação curta sobre escolha da raiz):
  • A equação cúbica pode ter uma ou três raízes reais. Em altas pressões e temperatura acima de T_c normalmente existe uma única raiz física representando a fase fluida. Procuramos a raiz positiva que tem sentido físico para volume molar.
  • Avaliando numericamente a cúbica por tentativa e erro (método rápido tipo bisseção/interpolação), encontra-se a raiz:
Z \approx 0{,}7745.
Detalhe do cálculo do volume molar:
V_m = \frac{ZRT}{P}.
Substituindo:
V_m \approx \frac{0{,}7745\cdot 8{,}3144626\cdot 180}{17\times10^{6}}\\ \text{m}^{3}/\text{mol} \approx 6{,}818\times10^{-5}\\ \text{m}^{3}/\text{mol}.

Passo 7

Calcular o volume total V multiplicando pelo número de mols n:
V = n\,V_m \approx 1428{,}6\\ \text{mol}\times 6{,}818\times10^{-5}\\ \text{m}^{3}/\text{mol}.
Fazendo a multiplicação:
V \approx 0{,}0974\\ \text{m}^{3}.
Verificação rápida (checada): se tivéssemos usado o gás ideal, Z=1 e obteríamos um volume maior,
V_{\text{ideal}}=\frac{nRT}{P}\approx 0{,}1257\\ \text{m}^{3},
portanto o resultado real com PR ( V\approx 0{,}0974\\ \text{m}^{3}) é menor que o ideal por Z\approx 0{,}7745, o que faz sentido em condições de alta pressão.

Resposta

0{,}0974\\ \text{m}^{3}

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