Determine a pressão mínima de operação de um condensador para que a corrente de saída do equipamento seja constituída apenas de uma fase líquida. O vapor alimentado no condensador é uma mistura binária de tolueno e etilbenzeno com uma composição de 98 \% molar em benzeno. A temperatura na saída do condensador é de 95^{\circ} \mathrm{C}. Considere que o condensador opere de forma isobárica.
Dados Adicionais: \ln \mathrm{P}_{\mathrm{i}}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=\mathrm{A}_{\mathrm{i}}-\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+\mathrm{C}_{\mathrm{i}}}
Componente A B C
Etilbenzeno 13,9726 3259,93 212,300
Tolueno 13,9320 3056,96 217,625

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a pressão mínima de operação do condensador para que a corrente de saída seja constituída apenas de fase líquida, sabendo que a temperatura de saída é 95^\circ\mathrm{C} e que o condensador opera isobaricamente.
Informações dadas (extraídas do enunciado e da tabela fornecida):
  • Mistura binária: etilbenzeno e tolueno (dados de Antoine fornecidos na tabela).
  • Composição do vapor alimentado: 98\% molar em “benzeno” — aqui há uma inconsistência textual, porque os componentes listados são tolueno e etilbenzeno, e o enunciado diz “benzeno”. Não posso perguntar, então vou assumir que a composição de 98\% molar se refere a tolueno. Assim:
    • Fração molar no vapor de tolueno: y_{\text{tol}}=0,98.
    • Fração molar no vapor de etilbenzeno: y_{\text{etb}}=0,02.
  • Temperatura de saída do condensador: 95^\circ\mathrm{C}.
  • Equação dada para pressão de saturação (valores extraídos da tabela): \ln P_i^{\text{sat}}(\mathrm{kPa}) = A_i - \frac{B_i}{T(^{\circ}\mathrm{C})+C_i}.Os coeficientes (peguei da tabela fornecida):
    • Etilbenzeno: A=13{,}9726, B=3259{,}93, C=212{,}300.
    • Tolueno: A=13{,}9320, B=3056{,}96, C=217{,}625.

Passo 2

Conceito físico e escolha do critério mínimo de pressão (aula rápida, sem jargões pesados):
  • Queremos que, ao atingir T=95^\circ\mathrm{C} no condensador, não exista mais vapor — só líquido.
  • Para uma mistura de vapor com frações molares y_i a uma temperatura fixa T, a menor pressão na qual o vapor começa a condensar (primeira gota) é a pressão de orvalho (dew-point) àquela temperatura. A expressão (para comportamento ideal de vapor) é P_{\text{dew}}(T,y) = \sum_i y_i\,P_i^{\text{sat}}(T),onde P_i^{\text{sat}}(T) é a pressão de vapor saturada do componente i à temperatura T.
  • Interpretação operacional: se a pressão total do condensador P for maior ou igual a P_{\text{dew}}(T,y), o estado de equilíbrio a T favorece líquido (o vapor condensa). Então a pressão mínima de operação para garantir só líquido à saída é P_{\min} = P_{\text{dew}}(T=95^\circ\mathrm{C},\,y).
  • Portanto vamos calcular P_i^{\text{sat}}(95^\circ\mathrm{C}) para cada componente e aplicar a fórmula do ponto de orvalho.

Passo 3

Como calcular P_i^{\text{sat}}(T) com a equação dada (explicação do que cada termo significa):
  • A fórmula dada é uma forma de equação tipo Antoine (mas escrita em ln): \ln P_i^{\text{sat}}(\mathrm{kPa}) = A_i - \frac{B_i}{T(^{\circ}\mathrm{C})+C_i}.Onde:
    • P_i^{\text{sat}} é a pressão de vapor saturada do componente i em \mathrm{kPa}.
    • T(^{\circ}\mathrm{C}) é a temperatura em graus Celsius.
    • A_i,B_i,C_i são coeficientes fornecidos na tabela (adimensionais/na mesma unidade do enunciado).
  • Procedimento prático: para cada componente, calcular o denominador T+C_i, dividir B_i por esse valor, subtrair de A_i, obter \ln P_i^{\text{sat}} e então exponenciar para obter P_i^{\text{sat}}.

Passo 4

Cálculo de P^{\text{sat}} do etilbenzeno a 95^\circ\mathrm{C} (conta passo a passo):
  • Usando os coeficientes para etilbenzeno: A=13{,}9726, B=3259{,}93, C=212{,}300.
  • Primeiro o denominador: T + C = 95 + 212{,}300 = 307{,}300\quad\text{(observe as vírgulas decimais no formato do enunciado; aqui é \(307{,}300\) em \(^\circ\mathrm{C}\) — o valor é \(307{,}3\) na notação normal)}.íééçãPara clareza numérica usarei a notação com vírgula decimal dentro de TeX: T+C = 307{,}3.
  • Calculando o termo B/(T+C): \frac{B}{T+C} = \frac{3259{,}93}{307{,}3} \approx 10{,}6083.
  • Então \ln P_{\text{etb}}^{\text{sat}} = 13{,}9726 - 10{,}6083 = 3{,}3643.
  • Exponenciando: P_{\text{etb}}^{\text{sat}}(95^\circ\mathrm{C}) = e^{3{,}3643} \approx 28{,}92\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Cálculo de P^{\text{sat}} do tolueno a 95^\circ\mathrm{C} (conta passo a passo):
  • Coeficientes para tolueno: A=13{,}9320, B=3056{,}96, C=217{,}625.
  • Denominador: T + C = 95 + 217{,}625 = 312{,}625 \quad(\text{ou }312{,}625 \text{ conforme a tabela}).Em notação decimal: 312{,}625.
  • Calculando B/(T+C): \frac{3056{,}96}{312{,}625} \approx 9{,}77838.
  • Então \ln P_{\text{tol}}^{\text{sat}} = 13{,}9320 - 9{,}77838 = 4{,}15362.
  • Exponenciando: P_{\text{tol}}^{\text{sat}}(95^\circ\mathrm{C}) = e^{4{,}15362} \approx 63{,}67\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Cálculo da pressão de orvalho (e conclusão da pressão mínima):
  • Fórmula do ponto de orvalho (já apresentada): P_{\text{dew}}(T,y) = \sum_i y_i\,P_i^{\text{sat}}(T).
  • Substituindo as frações molares (assumidas) e os P_i^{\text{sat}} calculados: P_{\text{dew}}(95^\circ\mathrm{C}) = y_{\text{tol}}\,P_{\text{tol}}^{\text{sat}} + y_{\text{etb}}\,P_{\text{etb}}^{\text{sat}}
P_{\text{dew}} = 0{,}98\cdot 63{,}67 + 0{,}02\cdot 28{,}92.
  • Calculando os termos: 0{,}98\cdot 63{,}67 \approx 62{,}3986\\ \mathrm{kPa},
0{,}02\cdot 28{,}92 \approx 0{,}5784\\ \mathrm{kPa}.
  • Somando: P_{\text{dew}} \approx 62{,}3986 + 0{,}5784 = 62{,}9770\\ \mathrm{kPa} \approx 62{,}98\\ \mathrm{kPa}.
  • Interpretação final: a pressão mínima de operação do condensador para garantir que, a 95^\circ\mathrm{C}, toda a corrente esteja em fase líquida é igual a este ponto de orvalho. Ou seja, devemos operar com P \ge P_{\text{dew}}.

Resposta

P_{\min}\approx 62{,}98\\ \mathrm{kPa}

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