Vapor d’água escoa, em estado estacionário, através de um bocal convergente, isolado termicamente, com 25 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro na entrada. Na entrada do bocal (estado 1 ), a temperatura e a pressão são 325^{\circ} \mathrm{C} e 700 kPa , respectivamente, e a velocidade é de 30 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}. Na saída do bocal (estado 2), a temperatura e a pressão do vapor d’água são 240^{\circ} \mathrm{C} e 350 kPa . Os valores das propriedades são:
H_{1}=3.112,5 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \quad V_{\mathrm{l}}=388,61 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~g}^{-1}
H_{2}=2.945,7 \mathrm{~kJ} \mathrm{~kg}^{-1} \quad V_{2}=667,75 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~g}^{-1}
Qual é a velocidade do vapor na saída do bocal e qual é o diâmetro nesta saída?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a velocidade do vapor na saída do bocal.
  • Determinar o diâmetro do bocal na saída.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • comprimento do bocal: 25\\ \mathrm{cm} (não será necessário para os cálculos principais).
  • diâmetro na entrada: D_1 = 5\\ \mathrm{cm} = 0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • estado 1 (entrada): T_1=325^\circ\mathrm{C}, P_1=700\\ \mathrm{kPa}, velocidade v_1=30\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • estado 2 (saída): T_2=240^\circ\mathrm{C}, P_2=350\\ \mathrm{kPa}.
  • entalpias específicas (dados em \mathrm{kJ\,kg^{-1}}): H_1=3112{,}5\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}, H_2=2945{,}7\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
  • volumes específicos (dados em \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}}): V_1=388{,}61\\ \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}}, V_2=667{,}75\\ \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}}.
Observações sobre unidades (importantíssimo):
  • 1\\ \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}} = 1\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}}. Vou converter V_1,V_2 para \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}} quando necessário.
  • Entalpias já estão em \mathrm{kJ\,kg^{-1}}. Para somar/subtrair termos cinéticos com entalpia, converterei v^2/2 para \mathrm{kJ\,kg^{-1}} usando 1\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}} = 1000\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}.

Passo 2

Princípio de energia para escoamento estacionário, adiabático e sem trabalho de eixo (aplicável a um bocal isolado): a variação de energia específica entre entrada e saída está na forma de entalpia mais energia cinética. Negligenciando energia potencial, a equação por unidade de massa é
h_1 + \frac{v_1^2}{2} = h_2 + \frac{v_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica (aqui dada pelos H) e v é a velocidade. Explicando os termos:
  • h_1 e h_2 (em \mathrm{kJ\,kg^{-1}}) representam a energia térmica por unidade de massa.
  • \dfrac{v^2}{2} (em \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}) é a energia cinética por unidade de massa; para somar com entalpia em \mathrm{kJ\,kg^{-1}} convertemos dividindo por 1000.
Reescrevendo a equação para v_2 e fazendo a conversão de unidades:
\frac{v_2^2}{2\cdot 1000} = \frac{v_1^2}{2\cdot 1000} + (h_1 - h_2).
Multiplicando por 2\cdot 1000:
v_2^2 = v_1^2 + 2\cdot 1000\cdot (h_1 - h_2).

Passo 3

Aplicando números na expressão acima (todas as entalpias em \mathrm{kJ\,kg^{-1}}, velocidades em \mathrm{m\,s^{-1}}):
  • h_1 - h_2 = 3112{,}5 - 2945{,}7 = 166{,}8\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
  • Então
v_2^2 = (30)^2 + 2\cdot 1000 \cdot 166{,}8.
Calculemos:
v_2^2 = 900 + 333600 = 334500\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}}.
Portanto
v_2 = \sqrt{334500}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
(Na próxima seção farei a raiz numérica.)

Passo 4

Agora uso conservação de massa (escoamento estacionário, sem acumulação): a vazão mássica é constante,
\dot m = \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2,
onde \rho é densidade, A área da seção e v velocidade. Relação entre densidade e volume específico: \rho = 1/v_{\text{esp}}.
Primeiro converto os volumes específicos fornecidos:
V_1 = 388{,}61\\ \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}} = 388{,}61\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}} = 0{,}38861\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}},
V_2 = 667{,}75\\ \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}} = 667{,}75\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}} = 0{,}66775\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}}.
Densidades:
\rho_1 = \frac{1}{V_1} = \frac{1}{0{,}38861} \approx 2{,}572\\ \mathrm{kg\,m^{-3}},
\rho_2 = \frac{1}{V_2} = \frac{1}{0{,}66775} \approx 1{,}497\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Área de entrada A_1:
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}000625 = 0{,}0019635\\ \mathrm{m^2}.
Cálculo da vazão mássica:
\dot m = \rho_1 A_1 v_1 = 2{,}572 \times 0{,}0019635 \times 30.
Calcule:
\dot m \approx 2{,}572 \times 0{,}058905 = 0{,}1516\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}.

Passo 5

Voltemos ao cálculo numérico de v_2 do Passo 3:
v_2 = \sqrt{334500}\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 578{,}4\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Usando conservação de massa para achar A_2:
A_2 = \frac{\dot m}{\rho_2 v_2} = \frac{0{,}1516}{1{,}497 \times 578{,}4}.
Calculemos o denominador e a área:
1{,}497 \times 578{,}4 \approx 866{,}0,
A_2 \approx \frac{0{,}1516}{866{,}0} \approx 0{,}0001751\\ \mathrm{m^2}.
Diâmetro de saída D_2 a partir de A_2:
D_2 = \sqrt{\frac{4A_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\times 0{,}0001751}{\pi}}.
Calcule:
D_2 \approx \sqrt{0{,}0002230} \approx 0{,}01493\\ \mathrm{m} = 1{,}493\\ \mathrm{cm}.

Resposta

v_2 = 578{,}4\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
D_2 = 0{,}01493\\ \mathrm{m}

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