Determine as propriedades termodinâmicas das seguintes substâncias:
N₂, T=200 K, p=100 kPa

Passo 1

O enunciado dá uma substância e um estado e pede para determinar suas propriedades termodinâmicas. Vou listar claramente o que foi dado e o que vou calcular (sem começar a resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Substância: \mathrm{N_2}.
  • Temperatura: T=200\\ \text{K}.
  • Pressão: p=100\\ \text{kPa} = 100\,000\\ \text{Pa}.
Perguntas implícitas (o que vou determinar):
  • Verificar a fase (líquido/vapor/gás real), avaliar se posso usar o gás ideal.
  • Calcular a constante específica do gás R.
  • Calcular o volume específico v e a massa específica \rho.
  • Calcular capacidades térmicas específicas aproximadas ( c_v e c_p) usando o modelo de gás diatômico.
  • Calcular a energia interna específica u e a entalpia específica h com a aproximação de gás ideal e capacidades constantes.
  • Calcular (ou estimar) o fator de compressibilidade Z e justificar a aproximação usada.
Não há tabela ou gráfico fornecido, então devo justificar e usar aproximações (principalmente a aproximação de gás ideal) — isso será explicado e justificado nos próximos passos.

Passo 2

Primeiro: verificar a fase e se o gás ideal é aceitável. Para isso uso as propriedades críticas conhecidas de \mathrm{N_2} (valores padrão, usados como dados físicos):
  • Temperatura crítica aproximada: T_c = 126{,}2\\ \text{K}.
  • Pressão crítica aproximada: p_c = 3{,}39\times10^{6}\\ \text{Pa} (ou 3{,}39\\ \text{MPa}).
Calculo as grandezas reduzidas:
T_r=\frac{T}{T_c}=\frac{200}{126{,}2}\approx1{,}585, \qquad p_r=\frac{p}{p_c}=\frac{100\,000}{3{,}39\times10^{6}}\approx0{,}0295.
Interpretação didática e conclusão:
  • Como \,T_r>1, a temperatura do gás está acima da crítica; não existe liquefação por compressão isoterma.
  • Como \,p_r é muito pequeno, a pressão está bem abaixo da pressão crítica.
  • Em geral, para \,T_r\gtrsim1{,}5 e pressões tão baixas, o comportamento real aproxima-se bem do comportamento de gás ideal (desvios pequenos). Portanto a aproximação de gás ideal é aceitável aqui e permitirá calcular propriedades com fórmulas simples e sem tabela.

Passo 3

Calcular a constante específica do gás R a partir da constante universal dos gases. Fórmula e explicação:
R=\frac{R_u}{M},
onde R_u é a constante universal dos gases ( R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) e M é a massa molar da substância em \mathrm{kg\,mol^{-1}}. Para o nitrogênio:
M(\mathrm{N_2})=28{,}0134\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=0{,}0280134\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
Cálculo:
R=\frac{8{,}314462618}{0{,}0280134}\approx296{,}8\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
Explicação intuitiva: R é a constante que relaciona pressão, volume específico e temperatura pelo gás ideal ( p v = R T) quando trabalhamos por unidade de massa.

Passo 4

Calcular o volume específico v usando a equação do gás ideal. Fórmula e explicação:
p v = R T \quad\Rightarrow\quad v=\frac{R T}{p},
onde v é o volume específico em \mathrm{m^3\,kg^{-1}}, p em \mathrm{Pa}, T em \mathrm{K}.
Substituindo os valores:
v=\frac{296{,}805\cdot200}{100\,000}\approx0{,}5936\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}}.
Passo-a-passo aritmético (para você poder refazer na prova sem calculadora):
  • R T \approx 296{,}805\times200 \approx 59\,361{,}0 (unidade \mathrm{J\,kg^{-1}} que é \mathrm{Pa\cdot m^3\,kg^{-1}}).
  • Dividir por p=100\,000 59\,361{,}0/100\,000 \approx 0{,}59361\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}}.

Passo 5

Calcular a massa específica (densidade) \rho. Fórmula:
\rho=\frac{1}{v}.
Usando o resultado anterior:
\rho=\frac{1}{0{,}5936}\approx1{,}684\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
Comentário prático: essa densidade é menor que a do ar a 1\\ \text{atm}\, /\,300\\ \text{K}, mas estamos a 200\\ \text{K} onde o gás fica mais denso; o valor calculado está no intervalo esperado para gás.

Passo 6

Determinar as capacidades térmicas específicas c_v e c_p para \mathrm{N_2} com o modelo de gás diatômico (aproximação clássica).
Raciocínio didático:
  • Moléculas diatômicas (como \mathrm{N_2}) têm, a temperaturas moderadas (não muito altas para excitar modos vibracionais), f=5 graus de liberdade acessíveis (3 translação + 2 rotação).
  • Para um gás ideal com f graus de liberdade:
c_v=\frac{f}{2}R,\qquad c_p=c_v+R.
Aplicando com f=5:
c_v=\frac{5}{2}R=2{,}5\;R\approx2{,}5\times296{,}805\approx742{,}0\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}},
c_p=c_v+R\approx742{,}0+296{,}8\approx1038{,}8\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}.
Observação: c_p e c_v realmente dependem de T na realidade, mas para T=200\\ \text{K} a aproximação usada (valores próximos aos obtidos com f=5) é razoável. Esses valores permitem cálculos rápidos na prova.

Passo 7

Calcular a energia interna específica u e a entalpia específica h usando o modelo de gás ideal com capacidades constantes. Fórmulas e explicação:
  • Para gás ideal com c_v aproximado constante,
u(T)=\int c_v(T)\,dT \approx c_v\,T + \text{constante de referência}.ê
Se escolhemos a referência de energia interna tal que u(0)=0, então u\approx c_v T.
  • Para entalpia:
h(T)=u(T)+R T\approx c_v T + R T = c_p T.
Cálculos numéricos:
u\approx c_v\,T \approx 742{,}0\times200 \approx 148{,}4\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}},
h\approx c_p\,T \approx 1038{,}8\times200 \approx 207{,}8\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.
Observação importante sobre referência: esses u e h são valores calculados assumindo que a integral de c_v desde 0\\ \text{K} c_v T (ou, equivalentemente, valores relativos à referência 0\\ \text{K}). Em exames é comum pedir variações de u ou h entre estados (nesse caso basta \Delta u = c_v\Delta T), ou então usar tabelas com referências específicas. Aqui dei valores absolutos aproximados para uso prático e comparação.

Passo 8

Estimativa do fator de compressibilidade Z e verificação da consistência:
  • Definição: Z=\dfrac{p v}{R T}. Para um gás ideal Z=1.
  • Usando o v calculado pela lei dos gases ideais, obtemos Z=1 por construção. Mas é relevante estimar o desvio real: com \,T_r\approx1{,}585 e \,p_r\approx0{,}0295, da carta generalizada de compressibilidade ou de correlações de segunda ordem, o desvio real Z-1 é muito pequeno (alguns por cento, tipicamente < 0{,}02 para essas condições). Então a aproximação Z\approx1 é adequada para cálculos de prova sem tabelas precisas.

Passo 9

Resumo prático (passos para refazer rapidamente na prova):
  1. Verifique T_r e p_r para decidir se usa gás ideal.
  2. Calcule R = R_u/M.
  3. Use v=RT/p e \rho=1/v.
  4. Para diatômicos: c_v=2{,}5\,R, c_p=c_v+R.
  5. u=c_v T e h=c_p T (para variações ou referência escolhida).
  6. Z=p v/(R T) para checar consistência.

Resposta

R = 296{,}8\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}
v = 0{,}5936\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}}
\rho = 1{,}684\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}
c_v = 742{,}0\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}
c_p = 1038{,}8\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}
u \approx 148{,}4\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}
h \approx 207{,}8\\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}
Z \approx 1 (aproximação de gás ideal; desvio real pequeno)

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