Determine as propriedades termodinâmicas das seguintes substâncias:
CO₂, T=800 K, p=200 kPa

Passo 1

O enunciado dá uma única substância e as condições termodinâmicas:
  • Substância: \mathrm{CO_2}.
  • Temperatura: T=800\\ \mathrm{K}.
  • Pressão: p=200\\ \mathrm{kPa}.
O que vou determinar (assunção implícita: estado gasoso a estas condições):
  • Volume específico v (ou densidade \rho).
  • Fator de compressibilidade Z (para checar desvio da idealidade).
  • Energia interna específica u e entalpia específica h (valores aproximados, porque exigem dados de calor específico).
Obs.: o enunciado não especifica quais propriedades deseja. Aqui eu calcularei as propriedades básicas listadas acima e explico os passos e as fórmulas para que você aplique em prova. Sempre aviso quando a resposta for aproximada e qual hipótese estou fazendo.

Passo 2

Cálculo da constante específica do gás R para o \mathrm{CO_2}.
Fórmula: R = \dfrac{R_u}{M}, onde
  • R_u é a constante universal dos gases,
  • M é a massa molar (massa molar em \mathrm{kg}\!/\!\mathrm{kmol} R em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}) se R_u estiver em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\,\mathrm{K})).
Valores numéricos:
  • R_u = 8{,}3144621\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kmol}\,\mathrm{K}).
  • Massa molar do \mathrm{CO_2}: M = 44{,}01\\ \mathrm{kg}/\mathrm{kmol}.
Cálculo:
R = \dfrac{8{,}3144621}{44{,}01} \\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}) = 0{,}18898\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}).
Comentário didático curto: R é a “constante dos gases” para aquela espécie; aparece na equação dos gases ideais p v = R T quando v é volume específico ( \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}) e p está em \mathrm{kPa} se R está em \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}). Como 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3, os mesmos números funcionam.

Passo 3

Cálculo do volume específico v usando a lei dos gases ideais (hipótese inicial).
Lei dos gases ideais (fórmula):
p\,v = R\,T.
Isolando v:
v = \dfrac{R\,T}{p}.
Substituindo números (atenção às unidades: R em \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K}), T em \mathrm{K}, p em \mathrm{kPa} — compatível porque 1\\ \mathrm{kJ}=1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3):
v = \dfrac{0{,}18898\cdot 800}{200}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Cálculo passo a passo:
0{,}18898\cdot 800 = 151{,}184\\ (\text{kJ}/\text{kg}),
v = \dfrac{151{,}184}{200} = 0{,}75592\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Interpretação: cada quilograma de \mathrm{CO_2} ocupa aproximadamente 0{,}756\\ \mathrm{m}^3 nessa condição, segundo o modelo de gás ideal.

Passo 4

Cálculo da densidade \rho.
Relação inversa:
\rho = \dfrac{1}{v}.
Substituindo:
\rho = \dfrac{1}{0{,}75592}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = 1{,}3229\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Comentário prático: densidade baixa (da ordem do ar à temperatura ambiente), coerente com gás quente e pressão moderada.

Passo 5

Avaliação da idealidade: fator de compressibilidade Z.
Definição (fórmula):
Z \equiv \dfrac{p\,v}{R\,T}.
Se o gás fosse ideal, Z=1. Com os números usados (onde v foi obtido da lei dos gases ideais), teremos numericamente Z=1. Para verificar se essa hipótese é razoável fisicamente, calculemos as propriedades reduzidas:
  • Temperatura crítica do \mathrm{CO_2}: T_c \approx 304{,}13\\ \mathrm{K}.
  • Pressão crítica do \mathrm{CO_2}: p_c \approx 7377\\ \mathrm{kPa}.
Reduzidos:
T_r = \dfrac{T}{T_c} = \dfrac{800}{304{,}13} \approx 2{,}63,
p_r = \dfrac{p}{p_c} = \dfrac{200}{7377} \approx 0{,}0271.
Interpretação didática: para T_r grande (bem acima de 1) e p_r pequeno, o comportamento do gás fica muito próximo ao ideal (interações moleculares pouco influentes). Então a hipótese Z\approx 1 é bastante razoável aqui. Se precisar de precisão, usa-se uma EoS real (van der Waals, Redlich–Kwong, Peng–Robinson) ou tabelas termodinâmicas para \mathrm{CO_2}.

Passo 6

Cálculo aproximado de h e u (energia interna e entalpia) explicando a teoria.
Teoria (para gás ideal):
  • A entalpia específica depende só da temperatura:
h(T) = h(T_\mathrm{ref}) + \int_{T_\mathrm{ref}}^{T} c_p(T)\,dT.
  • A energia interna específica também depende só da temperatura e vale
u(T) = h(T) - R\,T.
Aqui é necessário conhecer c_p(T) do \mathrm{CO_2}. Essa função não é constante no grande intervalo 298\\ \mathrm{K}\to 800\\ \mathrm{K}, então o correto é usar curvas/tabelas ou um polinômio (NASA, JANAF, etc.). Em provas geralmente ou a tabela de c_p(T) é fornecida, ou pede-se o cálculo aproximado assumindo c_p médio.
Vou mostrar o procedimento e fornecer um valor aproximado assumindo um calor específico médio no intervalo (apenas para dar número de referência). Estimativa razoável (valor típico para \mathrm{CO_2}):
  • c_p médio no intervalo 298{,}15\\ \mathrm{K} a 800\\ \mathrm{K}: tomo c_{p,\mathrm{méd}} \approx 0{,}95\\ \mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})é. (isto é uma estimativa; tabelas/coeficientes polinomiais dão um valor mais preciso.)
Escolho referência h(298{,}15\\ \mathrm{K})=0 (referência arbitrária útil para diferenças). Então:
\Delta h = h(800) - h(298{,}15) \approx c_{p,\mathrm{méd}} (800 - 298{,}15).é
Cálculo:
800 - 298{,}15 = 501{,}85\\ \mathrm{K},
\Delta h \approx 0{,}95\cdot 501{,}85 = 476{,}76\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Assim, com essa referência, h(800\\ \mathrm{K}) \approx 476{,}8\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} (aprox.).
Agora u:
u = h - R\,T.
Já temos R\,T = 0{,}18898\cdot 800 = 151{,}184\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Logo:
u \approx 476{,}76 - 151{,}184 = 325{,}58\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Aviso importante sobre exatidão: estes h e u são aproximados porque usei um c_p médio estimado. Para obter valores mais fiéis (erros pequenos), use:
  • tabelas de propriedades do \mathrm{CO_2} ou
  • polinômios de calor específico (coeficientes NASA/JANAF) e integre \int c_p(T)\,dT exatamente, ou
  • um programa/PL de propriedades reais (REFPROP, CoolProp) ou uma EoS (Peng–Robinson) para incluir efeitos de não-idealidade na entropia e outras propriedades.

Passo 7

Resumo prático e dica para prova:
  • Se em prova só pedirem v e \rho, usar o gás ideal aqui é totalmente aceitável e rápido — cálculo feito no Passo 3–4.
  • Se pedirem h e u e a prova fornecer tabela/polígonos de c_p(T), usar a integral exata; se não fornecer e pedirem uma estimativa, usar um c_p médio e mostrar claramente a aproximação (como eu fiz).
  • Se exigirem precisão (por exemplo erro < 1–2 %), use tabelas ou EoS real.

Resposta

v = 0{,}75592\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}
\rho = 1{,}3229\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
Z \approx 1 (aproximação válida: T_r\approx2{,}63,\\ p_r\approx0{,}027)
h(800\\ \mathrm{K}) \approx 476{,}8\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} (aprox.; referência h(298{,}15\\ \mathrm{K})=0, c_{p,\mathrm{méd}}é estimado)
u(800\\ \mathrm{K}) \approx 325{,}6\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg} (aprox.)

Exercícios relacionados