Determine a resposta ao impulso e a resposta ao degrau para os seguintes sistemas:
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+6 \frac{d y(t)}{d t}+4 y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema LTI contínuo
\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+6\,\frac{dy(t)}{dt}+4\,y(t)=x(t)
e pede (a) a resposta ao impulso h(t) (quando x(t)=\delta(t)) e (b) a resposta ao degrau g(t) (quando x(t)=u(t)), assumindo condições iniciais nulas. Vamos usar a transformada de Laplace e/ou resolução direta da EDO, encontrando primeiro as raízes do polinômio característico.

Passo 2

O polinômio característico é
r^2 + 6r + 4 = 0
Suas raízes são
r_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}.
Denotamos r_{1} = -3 + \sqrt{5} e r_{2} = -3 - \sqrt{5}.

Passo 3

Para x(t)=\delta(t) a solução da EDO é a resposta ao impulso
h(t) = A\,e^{r_{1}t} + B\,e^{r_{2}t},\quad t\ge0,
com condições iniciais imposta pelo impulso. Pelo método da transformada de Laplace ou pelos coeficientes de frações parciais, obtém-se
h(t) = \frac{e^{r_{1}t}-e^{r_{2}t}}{r_{1}-r_{2}}\,u(t) = \frac{1}{2\sqrt{5}}\Bigl(e^{(-3+\sqrt5)\,t}-e^{(-3-\sqrt5)\,t}\Bigr)\,u(t).

Passo 4

Para x(t)=u(t) buscamos solução particular constante y_{\infty}= \lim_{t\to\infty}y(t). Da equação em regime permanente vem
4\,y_{\infty}=1 \quad\Longrightarrow\quad y_{\infty}=\frac14.
A solução geral é
g(t)=\frac14 + C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},\quad t\ge0,
com g(0)=0 e g'(0)=0. Resolvendo o sistema para C_{1},C_{2}
C_{1}=-\frac{3+\sqrt5}{8\sqrt5}, \quad C_{2}=\frac{3-\sqrt5}{8\sqrt5}.
Logo a resposta ao degrau é
g(t) =\frac14 -\frac{3+\sqrt5}{8\sqrt5}\,e^{(-3+\sqrt5)\,t} +\frac{3-\sqrt5}{8\sqrt5}\,e^{(-3-\sqrt5)\,t} \;u(t).

Resposta

h(t)=\frac{1}{2\sqrt5}\Bigl(e^{(-3+\sqrt5)t}-e^{(-3-\sqrt5)t}\Bigr)\,u(t),
g(t)=\frac14 -\frac{3+\sqrt5}{8\sqrt5}\,e^{(-3+\sqrt5)t} +\frac{3-\sqrt5}{8\sqrt5}\,e^{(-3-\sqrt5)t} \;u(t).

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