Determine se os seguintes sinais são ou não periódicos. Em caso afirmativo, determine qual seu período.
x(t)=e^{j 3 \pi t}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sinal
x(t)=e^{j3\pi t}
é periódico. O conteúdo aqui é sinais contínuos complexos e a condição de periodicidade para um exponencial complexo.

Passo 2

Um sinal da forma
x(t)=e^{j\omega_0 t}
é periódico se e somente se a razão
\frac{\omega_0}{2\pi}
for um número racional, digamos \tfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}. Nesse caso existe um período T tal que
\omega_0 T = 2\pi k
para algum inteiro k.

Passo 3

Aqui \omega_0=3\pi, logo
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{3\pi}{2\pi}=\frac{3}{2},
que é racional. Portanto x(t) é periódico.

Passo 4

Para achar o menor período T (fundamental) resolvemos
3\pi\,T = 2\pi\quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}.

Resposta

O sinal é periódico e seu período fundamental é
T = \frac{2}{3}.

Exercícios relacionados