Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=\frac{e^{-x}}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' + y = \frac{e^{-x}}{x^2+1}.
O procedimento é: (1) encontrar a solução complementar y_c resolvendo a equação homogênea associada, (2) usar o método de variação de parâmetros para obter uma particular y_p, e (3) somar y_c+y_p.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)^2 = 0,
com raiz dupla r=-1. Logo
y_c = C_1 e^{-x} + C_2 \,x e^{-x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos
y_1 = e^{-x}, \quad y_2 = x e^{-x},
e escrevemos y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2. As fórmulas são
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W}, \quad u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W},
onde
f(x)=\frac{e^{-x}}{x^2+1}, \quad W = \begin{vmatrix}y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2'\end{vmatrix} = e^{-x}\bigl(e^{-x}-x e^{-x}\bigr) -(-e^{-x})(x e^{-x}) = e^{-2x}.
Assim
u_1' = -\frac{\frac{e^{-x}}{x^2+1}\,(x e^{-x})}{e^{-2x}} = -\frac{x}{x^2+1}, \qquad u_2' = \frac{\frac{e^{-x}}{x^2+1}\,e^{-x}}{e^{-2x}} = \frac{1}{x^2+1}.

Passo 4

Integramos para obter u_1,u_2:
u_1 = -\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = -\tfrac12\ln\bigl(x^2+1\bigr), \qquad u_2 = \int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan x.
Logo
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = -\tfrac12\ln\bigl(x^2+1\bigr)\,e^{-x} \;+\;\bigl(\arctan x\bigr)\,x e^{-x}.
A solução geral é
y = y_c + y_p.

Resposta

\boxed{ y(x) = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x} \;+\; e^{-x}\Bigl(x\arctan x \;-\;\tfrac12\ln(x^2+1)\Bigr). }

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