Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y=\sin 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 4y = \sin 2x
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Para resolver, vamos usar o método da soma da solução homogênea com uma particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 2\,i.
Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1\cos2x + C_2\sin2x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Como o termo forçante \sin2x é solução da homogênea, há ressonância. Devemos tentar um particular da forma
y_p(x) = x\bigl(A\cos2x + B\sin2x\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = A\cos2x + B\sin2x + x\bigl(-2A\sin2x + 2B\cos2x\bigr),
y_p'' = -2A\sin2x + 2B\cos2x + \bigl(-2A\sin2x +2B\cos2x\bigr) + x\bigl(-4A\cos2x -4B\sin2x\bigr).
Agrupando termos,
y_p'' = (-4A\sin2x +4B\cos2x) + x(-4A\cos2x -4B\sin2x).

Passo 5

Substituindo em y''+4y=\sin2x:
y_p'' + 4y_p = \bigl(-4A\sin2x +4B\cos2x\bigr) + x\bigl(-4A\cos2x -4B\sin2x\bigr) +4x\bigl(A\cos2x +B\sin2x\bigr).
Os termos em x cancelam e sobra
-4A\sin2x +4B\cos2x = \sin2x.
Comparando coeficientes de \sin2x e \cos2x, obtemos
-4A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac14,
4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Assim
y_p(x) = -\tfrac14\,x\cos2x.

Passo 6

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos2x + C_2\sin2x - \tfrac14\,x\cos2x.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1\cos2x + C_2\sin2x - \frac{x}{4}\cos2x.}

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