Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' + y = \frac{\sin x}{\cos^2 x}.
Trata‐se de uma EDO linear de 2ª ordem não homogênea. Vamos:
  1. achar a solução geral da homogênea,
  2. usar variação de parâmetros para uma particular,
  3. somar as duas.

Passo 2

Solução da homogênea
y'' + y = 0.
A equação característica é r^2 + 1=0, com raízes r=\pm i. Logo
y_h = C_1\cos x + C_2\sin x.

Passo 3

Para variação de parâmetros, tomamos
y_1=\cos x,\quad y_2=\sin x,
com Wronskiano
W = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\,\sin x & \cos x \end{vmatrix} =1.
Seja f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}. As fórmulas são
u_1' = -\frac{y_2\,f(x)}{W} = -\,\sin x\cdot\frac{\sin x}{\cos^2 x} = -\tan^2 x,
u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W} = \cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \tan x.

Passo 4

Integramos para achar u_1,u_2:
u_1 = -\int\tan^2 x\,dx = -\int(\operatorname{sec}^2 x -1)\,dx = -(\tan x - x) = x - \tan x,
u_2 = \int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert.
A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = (x - \tan x)\cos x \;-\; \ln\lvert\cos x\rvert\,\sin x
= x\cos x \;-\;\tan x\cos x \;-\;\sin x\ln\lvert\cos x\rvert = x\cos x \;-\;\sin x \;-\;\sin x\ln\lvert\cos x\rvert.

Passo 5

Na soma y=y_h+y_p podemos incorporar o “ -\sin x” em C_2\sin x. Assim, a forma simplificada da solução geral é
y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + x\cos x - \sin x\ln\lvert\cos x\rvert.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + x\cos x - \sin x\ln\bigl|\cos x\bigr|.}

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