Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} x \csc x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' + y = \operatorname{sec} x \,\csc x.
Isto é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. Para resolver vamos:
  1. Encontrar a solução geral da homogênea associada.
  2. Usar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica é \lambda^2 + 1 = 0, cujas raízes são \lambda = \pm i. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.

Passo 3

Para usar variação de parâmetros tomamos duas soluções fundamentais
y_1(x) = \cos x,\quad y_2(x) = \sin x,
cujo Wronskiano vale
W = \begin{vmatrix}\cos x & \sin x \\\\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.
As fórmulas padrão dão
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,f(x)}{W} = -\sin x\;\bigl(\operatorname{sec} x\,\csc x\bigr) = -\frac{\sin x}{\sin x\cos x} = -\operatorname{sec} x,
u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,f(x)}{W} = \cos x\;\bigl(\operatorname{sec} x\,\csc x\bigr) = \frac{\cos x}{\sin x\cos x} = \csc x.

Passo 4

Agora integramos:
u_1(x) = -\int \operatorname{sec} x \,dx = -\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|,
u_2(x) = \int \csc x \,dx = \ln\Bigl|\tan\bigl(\tfrac x2\bigr)\Bigr|.
(As constantes de integração podem ser absorvidas em C_1 e C_2.)

Passo 5

A solução particular é
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x) = -\cos x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + \sin x\;\ln\Bigl|\tan\bigl(\tfrac x2\bigr)\Bigr|.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{ y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x -\cos x\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| +\sin x\,\ln\Bigl|\tan\bigl(\tfrac x2\bigr)\Bigr|. }

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