Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\sin x+\cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = \sin x + \cos x
Vamos usar o método de solução homogênea mais particular por coeficientes a determinar, observando que o termo não homogêneo é ressonante com a homogênea.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y_h'' + y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i.
Logo
y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x.

Passo 3

Como o termo direito \sin x+\cos x gera ressonância (são soluções da homogênea), tentamos uma particular da forma
y_p = A\,x\cos x + B\,x\sin x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p = A x\cos x + B x\sin x,
y_p' = A(\cos x - x\sin x) + B(\sin x + x\cos x),
y_p'' = -2A\sin x - A x\cos x + 2B\cos x - B x\sin x.

Passo 5

Substituindo em y''+y:
y_p'' + y_p = \bigl(-2A\sin x + 2B\cos x\bigr)
deve ser igual a \sin x + \cos x. Assim
-2A = 1,\quad 2B = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac12,\; B = \tfrac12.

Passo 6

A solução particular fica
y_p = -\tfrac12\,x\cos x + \tfrac12\,x\sin x
e a solução geral é
y = y_h + y_p = C_1\cos x + C_2\sin x \;-\;\tfrac12\,x\cos x + \tfrac12\,x\sin x.

Resposta

\boxed{y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x - \tfrac12\,x\cos x + \tfrac12\,x\sin x.}

Exercícios relacionados