- Determine o trabalho realizado numa expansão de um gás com a seguinte equação de estado
onnde
é uma constante dimensional e
. Expresse o resultado em função das pressões no estado inicial e final.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado numa expansão reversível de um gás cuja equação de estado é
, ou seja, estamos em Mecânica dos Fluidos ou Termodinâmica e vamos usar cálculo de integrais para achar
.
Passo 2
O trabalho de expansão reversível de
até
é dado por possuir pressão variável:
Passo 3
Aplicamos a regra de potência para integrar
:
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Passo 4
Reescrevemos a diferença trocando o sinal do denominador:
Passo 5
Para eliminar os volumes, usamos as pressões inicial e final:
Passo 6
Substituindo em
e
:
Passo 7
Por fim, o trabalho fica
$$W=\frac{A}{\gamma-1}\Bigl(A{\frac{1-\gamma}{\gamma}},P_i{1-\frac{1}{\gamma}}-A{\frac{1-\gamma}{\gamma}},P_f{1-\frac{1}{\gamma}}\Bigr)
=\frac{A{1/\gamma}}{\gamma-1}\bigl(P_i{1-1/\gamma}-P_f^{1-1/\gamma}\bigr).$$