1. Determine o trabalho realizado numa expansão de um gás com a seguinte equação de estado
P=AV^gamma,
onnde A é uma constante dimensional e gamma>1. Expresse o resultado em função das pressões no estado inicial e final.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado numa expansão reversível de um gás cuja equação de estado é P= A/V^gamma, ou seja, estamos em Mecânica dos Fluidos ou Termodinâmica e vamos usar cálculo de integrais para achar W=integral P,dV.

Passo 2

O trabalho de expansão reversível de Vi até Vf é dado por possuir pressão variável:
W=integralVi^VfP,dV=integralVi^VfA,V^-gamma,dV

Passo 3

Aplicamos a regra de potência para integrar V^-gamma:
integral V^-gamma,dV=V^1-gamma1-gamma
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W=A[V^1-gamma1-gamma]Vi^Vf=A1-gammal(Vf^1-gamma-Vi^1-gammar)

Passo 4

Reescrevemos a diferença trocando o sinal do denominador:
W=Agamma-1l(Vi^1-gamma-Vf^1-gammar)

Passo 5

Para eliminar os volumes, usamos as pressões inicial e final:
Pi=AVi^gammaRightarrow Vi=l(APir)^1/gamma,
Pf=AVf^gammaRightarrow Vf=l(APfr)^1/gamma

Passo 6

Substituindo em Vi^1-gamma e Vf^1-gamma:
Vi^1-gamma=l(APir)^1-gammagamma=A^1-gammagamma,Pi^1-1gamma,
Vf^1-gamma=A^1-gammagamma,Pf^1-1gamma

Passo 7

Por fim, o trabalho fica
$$W=\frac{A}{\gamma-1}\Bigl(A{\frac{1-\gamma}{\gamma}},P_i{1-\frac{1}{\gamma}}-A{\frac{1-\gamma}{\gamma}},P_f{1-\frac{1}{\gamma}}\Bigr)
=\frac{A{1/\gamma}}{\gamma-1}\bigl(P_i{1-1/\gamma}-P_f^{1-1/\gamma}\bigr).$$

Resposta

W=A^1/gammagamma-1l(Pi^1-tfrac1gamma-Pf^1-tfrac1gammar)

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