1. Usando a definição de ponto crítico, mostre que pode haver transição de fase para um gás real descrito pela equação de van der Waals.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação de van der Waals admite um ponto crítico e, portanto, possibilita transição de fase gás–líquido. Isso envolve termodinâmica de gases reais e a definição de ponto crítico baseada em inflexão da isoterma no diagrama P–V.

Passo 2

A equação de van der Waals no volume molar V é
P(V,T) = RTV - b - aV^2

Passo 3

O ponto crítico (V_c, T_c, P_c) de um fluido é definido como o ponto onde a isoterma P versus V apresenta inflexão, ou seja, satisfaz
(partial Ppartial V)T = 0 e (partial^2 Ppartial V^2)T = 0

Passo 4

Calculamos as derivadas de P em relação a V mantendo T constante:
partial Ppartial V = -RT(V - b)^2 + 2aV^3, partial^2 Ppartial V^2 = 2RT(V - b)^3 - 6aV^4

Passo 5

Impondo as condições de ponto crítico e resolvendo o sistema
-RT(V - b)^2 + 2aV^3 = 0, 2RT(V - b)^3 - 6aV^4 = 0, obtemos primeiro de partial P/partial V=0 que
RT,V^3 = 2a,(V - b)^2 e de partial^2 P/partial V^2=0 que
2RT,V^4 = 6a,(V - b)^3

Passo 6

Dividindo a segunda relação pela primeira e simplificando, chega-se a
Vc = 3b

Passo 7

Substituindo Vc=3b em qualquer das relações anteriores, encontra-se
Tc = 8a27Rb e Pc = a27b^2

Passo 8

Como para T a isoterma apresenta um máximo e um mínimo de pressão (região onde partial P/partial V>0, instável), há coexistência de volumes (fases) líquido e gás à mesma pressão. Isso caracteriza a transição de fase no modelo de van der Waals.

Resposta

O fluido de van der Waals exibe um ponto crítico dado por
Vc = 3b, Tc = 8a27Rb, Pc = a27b^2
Para T existe região instável na isoterma que leva à coexistência de fases, caracterizando a transição de fase gás–líquido.

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