Determine a transformada de Laplace para as seguintes funções: degrau, impulso e rampa.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace para três funções: degrau, impulso e rampa. A matéria aqui é Transformadas de Laplace, uma ferramenta super útil na resolução de equações diferenciais e análise de sistemas. Para resolver, vamos precisar entender o que são essas funções e como aplicar a definição da transformada de Laplace a cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Básicamente, é uma técnica que transforma uma função do tempo $ t $ para uma função no domínio da frequência $ s $. A definição da transformada de Laplace é:
t
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace de uma função, a gente integra a função multiplicada por $ e^{-st} $ de $ t = 0 $ até infinito.

Passo 3

Agora, vamos começar com a primeira função: o degrau. Essa função, também chamada de função degrau unitário, é definida como:
u(t) = 0 & para t < 0 1 & para t >= 0
Ela representa um sinal que “liga” no instante $ t = 0 $.

Passo 4

Para encontrar a transformada de Laplace do degrau, usamos a definição:
Lu(t) = integral0^infty e^-st cdot 1 , dt
Resolvendo a integral:
Lu(t) = integral0^infty e^-st , dt = [ -e^-sts ]0^infty = 1s
Então, a transformada de Laplace do degrau é $ \frac{1}{s} $.

Passo 5

Agora vamos para a segunda função: o impulso, também conhecido como delta de Dirac, representado por $ \delta(t) $. Essa função é um pouco mais abstrata, mas essencialmente, ela é zero em todos os lugares, exceto em $ t = 0 $, onde ela é infinita de tal forma que a integral sobre ela é 1:
de
E a propriedade chave é:
t = 0

Passo 6

Vamos aplicar a transformada de Laplace no impulso:
Lde
Pela propriedade do delta, essa integral “pega” o valor da função em $ t = 0 $:
t = 0
Então, a transformada de Laplace do impulso é 1.

Passo 7

Por último, vamos tratar da função rampa, que é definida como $ r(t) = t $ para $ t \geq 0 $. Essa função cresce linearmente com o tempo, representando uma “rampa” ascendente.
r(t) = t

Passo 8

Aplicando a transformada de Laplace na rampa:
Lt = integral0^infty e^-st t , dt
Para resolver essa integral, usamos uma técnica de integração por partes. Se você não estiver familiarizado, a ideia é separar a integral em partes que podemos resolver mais facilmente. O resultado dessa integração é:
Lt = 1s^2
Então, a transformada de Laplace da função rampa é $ \frac{1}{s^2} $.

Resposta

As transformadas de Laplace das funções são:
  • Degrau: $ \mathcal{L}{u(t)} = \frac{1}{s} $
  • Impulso: $ \mathcal{L}{\delta(t)} = 1 $
  • Rampa: $ \mathcal{L}{t} = \frac{1}{s^2} $

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