Determine o valor dos números complexos:
j^{3}\left[\frac{1+j}{2-j}\right]^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
j^{3}\left[\frac{1+j}{2-j}\right]^{2}
Isso envolve operações com números complexos: primeiro a exponenciação de j, depois a divisão de números complexos (racionalização de denominador), a elevação ao quadrado e por fim a multiplicação dos resultados.

Passo 2

Calcular j^3. Como \;j^2=-1\;, segue-se
j^3 = j^2 \cdot j = (-1)\,j = -j.

Passo 3

Racionalizar o denominador de \frac{1+j}{2-j}. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada 2+j:
\frac{1+j}{2-j} = \frac{(1+j)(2+j)}{(2-j)(2+j)} = \frac{2 + 3j + j^2}{4 - j^2} = \frac{2 + 3j - 1}{4 + 1} = \frac{1 + 3j}{5}.

Passo 4

Elevar ao quadrado o quociente simplificado:
\left(\frac{1+3j}{5}\right)^2 = \frac{(1+3j)^2}{25} = \frac{1 + 6j + 9j^2}{25} = \frac{1 + 6j - 9}{25} = \frac{-8 + 6j}{25}.

Passo 5

Multiplicar o resultado de j^3=-j pelo quadrado obtido:
-j \cdot \frac{-8 + 6j}{25} = \frac{8j - 6j^2}{25} = \frac{8j + 6}{25} = \frac{6}{25} + \frac{8}{25}\,j.

Resposta

\displaystyle \frac{6}{25} + \frac{8}{25}\,j

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