No espaço livre, \mathbf{E}=20 \cos (\omega t-50 x) \mathbf{a}_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Calcule:
(a) \mathrm{J} d;
(b) H ;
(c) \omega.
Resposta: (a) -20 \omega \varepsilon_{0} \operatorname{sen}(\omega t-50 x) \mathbf{a}_{y} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}; (b) 0,4 \omega \varepsilon_{0} \cos (\omega t-50 x) \mathbf{a}_{y} \mathrm{A} / \mathrm{m}; (c) 1,5 \times 10^{10} \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá a onda eletromagnética no vácuo
\mathbf{E}(x,t)=20\cos\bigl(\omega t-50x\bigr)\,\mathbf{a}_{y}\quad\text{(V/m)}.
Queremos calcular
  1. a densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_{d},
  2. o vetor campo magnético \mathbf{H},
  3. a pulsação \omega.
    Para isso usamos:
    \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E} e \mathbf{J}_{d}=\partial\mathbf{D}/\partial t.
    – Num plano onda livre, \mathbf{E}, \mathbf{H} e o vetor de propagação \mathbf{k} formam um tripé ortogonal e \bigl|\mathbf{E}\bigr|/ \bigl|\mathbf{H}\bigr|=\eta_{0}.
    \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}=\mu_{0}c e c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.
    – A relação de fase \beta x tem \beta=50 rad/m e \beta=\omega/c, logo \omega=\beta\,c.

Passo 2

Primeiro encontramos \mathbf{J}_{d}. Como
\mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E} =\varepsilon_{0}\,20\cos\bigl(\omega t-50x\bigr)\,\mathbf{a}_{y},
então
\mathbf{J}_{d} =\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} =\varepsilon_{0}\cdot20\bigl[-\omega\sin(\omega t-50x)\bigr]\mathbf{a}_{y} =-20\,\omega\,\varepsilon_{0}\,\sin\bigl(\omega t-50x\bigr)\,\mathbf{a}_{y} \quad\text{(A/m}^{2}\text{)}.

Passo 3

Agora \mathbf{H}. A amplitude satisfaz
\frac{|\mathbf{E}|}{|\mathbf{H}|}=\eta_{0} \quad\Longrightarrow\quad |\mathbf{H}|=\frac{|\mathbf{E}|}{\eta_{0}} =\frac{20\cos(\omega t-50x)}{\eta_{0}}.
Mas \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}=\mu_{0}c e 1/\eta_{0}=\sqrt{\varepsilon_{0}/\mu_{0}}=\varepsilon_{0}c. Logo
|\mathbf{H}| =20\,\varepsilon_{0}\,c\cos(\omega t-50x).
Além disso c=\omega/\beta=\omega/50, então
|\mathbf{H}| =20\,\varepsilon_{0}\,\frac{\omega}{50}\cos(\omega t-50x) =0,4\,\omega\,\varepsilon_{0}\cos(\omega t-50x).
A direção de \mathbf{H} é \mathbf{a}_{z} para que \mathbf{E}\times\mathbf{H} aponte em +\mathbf{a}_{x}. Portanto
\mathbf{H} =0,4\,\omega\,\varepsilon_{0}\,\cos\bigl(\omega t-50x\bigr)\,\mathbf{a}_{z} \quad\text{(A/m)}.

Passo 4

Finalmente, para \omega usamos \beta=50 rad/m e c=3\times10^{8} m/s:
\omega=\beta\,c=50\times3\times10^{8}=1,5\times10^{10}\\ \text{rad/s}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{J}_{d}=-20\,\omega\,\varepsilon_{0}\,\sin\bigl(\omega t-50x\bigr)\,\mathbf{a}_{y}\\ \text{A/m}^{2}
(b) \displaystyle \mathbf{H}=0,4\,\omega\,\varepsilon_{0}\,\cos\bigl(\omega t-50x\bigr)\,\mathbf{a}_{z}\\ \text{A/m}
(c) \displaystyle \omega=1,5\times10^{10}\\ \text{rad/s}

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