Determine para que valores de
a função
é uma solução para a equação dada.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra ver para quais valores de
a função
é solução da equação
Isso é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional), onde a gente tenta uma solução do tipo
. Para resolver, vamos precisar:
- lembrar como derivar
, - substituir na equação,
- montar a equação para
e resolver.
Passo 2
Primeiro, derivar
:
Aqui usamos a regra básica da potência:
.
Passo 3
Agora, plugamos essas derivadas na equação:
Simplificando cada termo:
-
, -
, - e o último já é
.
Então sobra
Fatorando
(que para
não é zero), ficamos com a condição
Passo 4
Expandindo e juntando termos:
É só resolver essa quadrática:
Isso dá duas soluções: