Determine para que valores de m a função phi(x)=x^m é uma solução para a equação dada.
3 x^2 d^2 yd x^2+11 x d yd x-3 y=0

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra ver para quais valores de phi(x)=x^m a função
3x^2,d^2ydx^2 ;+; 11x,dydx ;-; 3y ;=; 0
é solução da equação
Isso é um caso clássico de equação de Euler–Cauchy (ou equidimensional), onde a gente tenta uma solução do tipo . Para resolver, vamos precisar:
  1. lembrar como derivar ,
  2. substituir na equação,
  3. montar a equação para e resolver.

Passo 2

Primeiro, derivar dphidx = m,x^m-1, d^2phidx^2 = m,(m-1),x^m-2 :
Aqui usamos a regra básica da potência: .

Passo 3

Agora, plugamos essas derivadas na equação:
3x^2l(m(m-1)x^m-2r) ;+; 11xl(m,x^m-1r) ;-; 3l(x^mr) ;=;0
Simplificando cada termo:
  • 3m(m-1),x^m ;+; 11m,x^m ;-; 3,x^m ;=; 0 ,
  • x^ml(3m(m-1)+11m-3r)=0 ;;Longrightarrow;; 3m(m-1)+11m-3=0 ,
  • e o último já é .
    Então sobra
Fatorando (que para não é zero), ficamos com a condição

Passo 4

Expandindo e juntando termos:
3m^2 -3m +11m -3 = 3m^2 +8m -3 = 0
É só resolver essa quadrática:
m = -8 pm raiz8^2 - 4cdot3cdot(-3)2cdot3 = -8 pm raiz64+366 = -8 pm 106
Isso dá duas soluções:
m1 = -8 + 106 = 26 = tfrac13, m2 = -8 - 106 = -186 = -3

Resposta

boxedm=tfrac13ou m=-3 é solução da equação para

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