( Disseminação de Inovações Tecnológicas )Há tempos os economistas e sociólogos têm avaliado como um capital tecnológico se dissemina em uma indústria. Na verdade queremos saber quanto tempo leva para uma tecnologia, adotada por uma certa companhia, seja adotada por outras empresas. Para exemplificar determinamos um modelo matemático que mostra como uma inovação se propaga entre os agricultores. Supomos que certa tecnologia seja introduzida no tempo t=0 numa comunidade fixa de N agricultores e que um agricultor adota a inovação quando conversou com outro que à adotou. Considere p(t) uma certa quantidade de agricultores que adotaram tal inovação no tempo t e De a variação da quantidade de agricultores que adotaram a nova tecnologia num intervalo De pequeno, é diretamente proporcional ao número de agricultores que já a adotaram , p, e dos que ainda não a adotaram, N-p, ou seja,
De
para alguma constante positiva c. Fazendo De, obtemos a equação diferencial
d pd t=c p(N-p)
Se um agricultor adotou a inovação num tempo t=0, vemos que p(t) satisfaz o problema de valor inicial
l d pd t=c p(N-p) p(0)=1
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma comunidade de dpdt=c,p,(N-p), agricultores e que a adoção da inovação segue a equação diferencial
com condição inicial . Isso é um modelo logístico. Para resolver, vamos precisar de separação de variáveis, frações parciais e integração, depois ajustar a constante usando .

Passo 2

Primeiro a gente separa variáveis. Escreve
dpp,(N-p)=c,dt

Passo 3

Agora usamos frações parciais em 1p(N-p)=1Nl(1p+1,N-pr) . Sabemos que
integraldpp(N-p) =1Nintegrall(1p+1N-pr)dp =1Nl(ln|p|-ln|N-p|r)+C
Então

Passo 4

Igualando à integral do lado direito, temos
1Nl(ln p-ln(N-p)r)=c,t + C Longrightarrow lnp,N-p=c,N,t + C',
onde p,N-p=A,e^cNt, . Exponenciando:
p=N;A,e^cNt1+A,e^cNt
com . Daí

Passo 5

Ajusta a constante com 1=N;A1+A Longrightarrow 1+A=N,A Longrightarrow A=1,N-1 :
p(t) =N;tfrac1N-1,e^cNt1+tfrac1N-1,e^cNt =N,1+(N-1)e^-cNt
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Resposta

boxedp(t)=N1+(N-1)e^-c,N,t

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