( Disseminação de Inovações Tecnológicas )Há tempos os economistas e sociólogos têm avaliado como um capital tecnológico se dissemina em uma indústria. Na verdade queremos saber quanto tempo leva para uma tecnologia, adotada por uma certa companhia, seja adotada por outras empresas. Para exemplificar determinamos um modelo matemático que mostra como uma inovação se propaga entre os agricultores. Supomos que certa tecnologia seja introduzida no tempo
numa comunidade fixa de
agricultores e que um agricultor adota a inovação quando conversou com outro que à adotou. Considere
uma certa quantidade de agricultores que adotaram tal inovação no tempo
e
a variação da quantidade de agricultores que adotaram a nova tecnologia num intervalo
pequeno, é diretamente proporcional ao número de agricultores que já a adotaram ,
, e dos que ainda não a adotaram,
, ou seja,
para alguma constante positiva
. Fazendo
, obtemos a equação diferencial
Se um agricultor adotou a inovação num tempo
, vemos que
satisfaz o problema de valor inicial
Assim, dê a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma comunidade de
agricultores e que a adoção da inovação segue a equação diferencial
com condição inicial
. Isso é um modelo logístico. Para resolver, vamos precisar de separação de variáveis, frações parciais e integração, depois ajustar a constante usando
.
Passo 2
Primeiro a gente separa variáveis. Escreve
Passo 3
Agora usamos frações parciais em
. Sabemos que
Então
Passo 4
Igualando à integral do lado direito, temos
onde
. Exponenciando:
com
. Daí
Passo 5
Ajusta a constante com
:
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