"Determinou-se que o curso motor de expansão de um motor de combustão interna pode ser aproximado por um processo politrópico, no qual o valor de expoente politrópico, n, é um pouco maior do que a relação dos calores específicos (k). Repita o Prob. 11.95 admitindo que o processo de expansão seja reversível e politrópico (em vez da expansão isoentrópica) e que o valor de n seja igual a 1,5^{\prime \prime}.

Passo 1

O enunciado que você mandou diz apenas que o processo de expansão é reversível e politrópico com expoente n=1{,}5 e pede para “repetir o Prob. 11.95”. Não foram fornecidos os dados do Problema 11.95 (por exemplo, valores como P_1, V_1, T_1, P_2 ou V_2, massa m ou número de moles N, e tampouco foi dito o que exatamente o problema pedia calcular: trabalho, calor, variação de energia interna, variação de entropia, etc.).
Informações que faltam e que são necessárias para obter um resultado numérico:
  • Um conjunto de condições de estado iniciais e finais: pelo menos dois dentre P_1, V_1, T_1, P_2, V_2, T_2 (ou massa/moles e uma das combinações acima).
  • Massa m ou número de mols n_{\rm mol} (ou densidade e volume) se as grandezas pedidas forem absolutas (não por unidade de massa).
  • Valores de calor específico (por ex. c_v e c_p) ou informação de que o gás é ideal com calores específicos constantes e o valor de R.
  • Especificação do que o problema pede calcular (trabalho, calor, \Delta U, \Delta S, T_2, etc.).
Sem esses dados não é possível fornecer uma resposta numérica idêntica à do Problema 11.95. Nos passos seguintes eu explico, passo a passo e de forma didática, como resolver um problema do tipo quando esses dados forem fornecidos — e já aplico a simplificação para n=1{,}5, assim você poderá substituir os números do seu problema e chegar à resposta rápido na prova.

Passo 2

Definição e notação (o que cada símbolo significa; anotações úteis):
  • Um processo politrópico satisfaz P V^{n}=\text{constante}.Aqui P é a pressão, V é o volume do sistema (volume total ou volume específico se trabalhar por unidade de massa), e n é o expoente politrópico (no seu caso n=1{,}5).
  • Para um gás ideal vale a equação de estado P V = m R T, onde m é a massa do gás, R é a constante do gás por unidade de massa (se estiver usando número de mols, trocar por n_{\rm mol} \, \bar R), e T é a temperatura absoluta.
  • Conveção de sinais: \displaystyle W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV é o trabalho realizado pelo sistema durante a transformação; W>0 para expansão. A primeira lei: Q=\Delta U+W, onde \Delta U é a variação da energia interna e Q é o calor transferido para o sistema (positivo quando entra calor).

Passo 3

Relações entre P, V e T para processo politrópico (derivação passo a passo):
  1. Comece de P V^{n}=\text{const}. Para os estados 1 e 2 isso dá P_1 V_1^{n}=P_2 V_2^{n}.
  2. Use P=\dfrac{m R T}{V}. Substituindo em P V^{n}= const:
\frac{m R T}{V}\,V^{n} = m R T V^{\,n-1} = \text{const}.
  1. Portanto para um gás ideal em processo politrópico existe também uma constante para T V^{\,n-1}, isto é:
T V^{\,n-1}=\text{const}.
  1. Daqui segue a relação entre temperaturas e volumes:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\,n-1}.
  1. Usando P V^{n}= const e substituindo V em termos de P, obtém-se também a relação
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{n-1}{n}}.
Essas fórmulas são práticas: se você souber V_1 e V_2 (ou P_1 e P_2), obtém T_2 a partir de T_1.

Passo 4

Fórmula do trabalho para processo politrópico (derivação e interpretação):
  1. Trabalho definido por \displaystyle W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV. Substitua P usando P V^{n}= constante =P_1 V_1^{n}. Assim:
P = P_1 V_1^{n} V^{-n}.
  1. Então
W = \int_{V_1}^{V_2} P_1 V_1^{n} V^{-n}\,dV = P_1 V_1^{n} \int_{V_1}^{V_2} V^{-n}\,dV.
  1. Para n\neq 1 a integral é elementar:
\int V^{-n}\,dV = \frac{V^{1-n}}{1-n},
portanto
W = \frac{P_1 V_1^{n}}{1-n}\left(V_2^{\,1-n}-V_1^{\,1-n}\right).
  1. Reagrupando usando P_i V_i = m R T_i, ou simplesmente reconhecendo P_2 V_2^{n}=P_1 V_1^{n}, uma forma muito prática é
W=\frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n}.
  1. Outra forma útil, expressa em temperaturas, é obtida substituindo P V = m R T:
W = \frac{m R (T_2 - T_1)}{1-n}.
Essa forma é frequentemente a mais direta quando se conhece T_1 e T_2.

Passo 5

Energia interna, calor e entropia:
  1. Para gás ideal com calores específicos constantes vale
\Delta U = m c_v (T_2 - T_1),
onde c_v é o calor específico a volume constante (unidades por massa por temperatura). Explique: energia interna de um gás ideal depende só de T, por isso a forma simples acima.
2) Pela primeira lei:
Q = \Delta U + W = m c_v (T_2 - T_1) + \frac{m R (T_2 - T_1)}{1-n}.
Fatorando T_2-T_1:
Q = m\left(c_v + \frac{R}{1-n}\right)(T_2 - T_1).
  1. Para a variação de entropia entre 1 e 2, usando propriedades de gás ideal com c_v constante:
\Delta s = c_v \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Observação: mesmo sendo o processo reversível, se n\neq\gamma (com \gamma=c_p/c_v) o processo não é adiabático e \Delta s\neq 0. Para o processo isoentrópico n=\gamma, \Delta s=0.

Passo 6

Especializando para n=1{,}5 (fazendo as substituições e simplificações úteis):
  • Primeiro calcule n-1 e 1-n:
n-1 = 0{,}5,\qquad 1-n = -0{,}5.
  • Relação temperatura-volume:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{0{,}5} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}}.
  • Relação temperatura-pressão:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!\frac{0{,}5}{1{,}5}} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\!1/3}.
  • Trabalho em termos de pressões e volumes:
W = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n} = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{-0{,}5} = -2\,(P_2 V_2 - P_1 V_1) = 2\,(P_1 V_1 - P_2 V_2).
Interpretação rápida: se o sistema se expande de V_1 para V_2>V_1 então P_2V_2 pode ser menor que P_1V_1; a fórmula acima dá o sinal correto para W conforme a integral \int P\,dV.
  • Trabalho em termos de temperaturas:
W = \frac{m R (T_2 - T_1)}{1-n} = \frac{m R (T_2 - T_1)}{-0{,}5} = -2\,mR\,(T_2 - T_1) = 2\,mR\,(T_1 - T_2).
  • Calor trocado:
Q = m\left(c_v + \frac{R}{1-n}\right)(T_2-T_1) = m\left(c_v - 2R\right)(T_2-T_1).
Observação: a quantidade c_v - 2R pode ser positiva ou negativa dependendo do gás (lembre que R=c_p-c_v). Para um gás diatômico típico, c_v \approx \tfrac{5}{2}R, então c_v - 2R \approx \tfrac{1}{2}R>0; portanto o sinal de Q segue o sinal de T_2-T_1.

Passo 7

Receita prática — passo a passo que você deve executar quando tiver os números do Prob. 11.95:
  1. Identifique o que é conhecido no problema: P_1,V_1,T_1,P_2,V_2 e m ou n_{\rm mol}. Se faltar T_1 use T_1=\dfrac{P_1 V_1}{mR}.
  2. Use \displaystyle P_1 V_1^{n}=P_2 V_2^{n} para calcular a incógnita de estado que faltar (por exemplo V_2 se P_2 for dado, ou P_2 se V_2 for dado). Com n=1{,}5 isso vira \,P_1 V_1^{1{,}5}=P_2 V_2^{1{,}5}\,.
  3. Calcule T_2 por \displaystyle T_2 = T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{0{,}5} (ou pela relação com pressões se for mais conveniente).
  4. Calcule W usando \displaystyle W=\frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1-n}=2\,(P_1 V_1 - P_2 V_2). Use unidades coerentes.
  5. Calcule \Delta U = m c_v (T_2 - T_1).
  6. Calcule Q = \Delta U + W ou use a fórmula direta \displaystyle Q = m\left(c_v - 2R\right)(T_2-T_1) para n=1{,}5.
  7. Se for pedido \Delta s (entropia): \displaystyle \Delta s = c_v \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right). Substitua a relação T_2/T_1=\sqrt{V_1/V_2} para simplificar se quiser.

Passo 8

Observações práticas e dicas para a prova (jeito rápido de pensar):
  • Sempre confira unidades: trabalhar em SI torna a vida mais fácil ( P em Pa, V em m^3, R em J/(kg·K) ou use molar com \bar R).
  • Se o problema do seu professor pede comparar com a expansão isoentrópica, note que para isoentrópico ideal você teria n=\gamma. Como aqui n=1{,}5 e normalmente \gamma para diatômico é 1{,}4 e para monoatômico é 1{,}67, o fato de n ser um pouco maior que k (onde imagino que k é \gamma) muda o valor do trabalho e do calor; as fórmulas que dei permitem ver essa diferença diretamente.
  • Se o problema pedir apenas razão ou variações adimensionais (por exemplo razão de trabalhos), muitas vezes massa e R cancelam — aproveite isso para cálculos rápidos sem conhecer m.

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos pedindo para “repetir o Prob. 11.95” porque os dados do Problema 11.95 ( P_1, V_1, T_1, P_2 ou V_2, massa m ou número de moles, e especificação do que calcular) não foram fornecidos. Forneça esses dados e eu aplico imediatamente os passos acima com n=1{,}5 e te entrego a resolução completa passo a passo.

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