"Determinou-se que o curso motor de expansão de um motor de combustão interna pode ser aproximado por um processo politrópico, no qual o valor de expoente politrópico, n, é um pouco maior do que a relação dos calores específicos (k). Repita o Prob. 11.95 admitindo que o processo de expansão seja reversível e politrópico (em vez da expansão isoentrópica) e que o valor de n seja igual a
.
Passo 1
O enunciado que você mandou diz apenas que o processo de expansão é reversível e politrópico com expoente
e pede para “repetir o Prob. 11.95”. Não foram fornecidos os dados do Problema 11.95 (por exemplo, valores como
,
,
,
ou
, massa
ou número de moles
, e tampouco foi dito o que exatamente o problema pedia calcular: trabalho, calor, variação de energia interna, variação de entropia, etc.).
Informações que faltam e que são necessárias para obter um resultado numérico:
Informações que faltam e que são necessárias para obter um resultado numérico:
- Um conjunto de condições de estado iniciais e finais: pelo menos dois dentre
, , , , , (ou massa/moles e uma das combinações acima). - Massa
ou número de mols (ou densidade e volume) se as grandezas pedidas forem absolutas (não por unidade de massa). - Valores de calor específico (por ex.
e ) ou informação de que o gás é ideal com calores específicos constantes e o valor de . - Especificação do que o problema pede calcular (trabalho, calor,
, , , etc.).
Sem esses dados não é possível fornecer uma resposta numérica idêntica à do Problema 11.95. Nos passos seguintes eu explico, passo a passo e de forma didática, como resolver um problema do tipo quando esses dados forem fornecidos — e já aplico a simplificação para
, assim você poderá substituir os números do seu problema e chegar à resposta rápido na prova.
Passo 2
Definição e notação (o que cada símbolo significa; anotações úteis):
- Um processo politrópico satisfaz
Aqui é a pressão, é o volume do sistema (volume total ou volume específico se trabalhar por unidade de massa), e é o expoente politrópico (no seu caso ). - Para um gás ideal vale a equação de estado
onde é a massa do gás, é a constante do gás por unidade de massa (se estiver usando número de mols, trocar por ), e é a temperatura absoluta. - Conveção de sinais:
é o trabalho realizado pelo sistema durante a transformação; para expansão. A primeira lei: onde é a variação da energia interna e é o calor transferido para o sistema (positivo quando entra calor).
Passo 3
Relações entre
,
e
para processo politrópico (derivação passo a passo):
- Comece de
Para os estados 1 e 2 isso dá - Use
. Substituindo em const:
- Portanto para um gás ideal em processo politrópico existe também uma constante para
, isto é:
- Daqui segue a relação entre temperaturas e volumes:
- Usando
const e substituindo em termos de , obtém-se também a relação
Essas fórmulas são práticas: se você souber
e
(ou
e
), obtém
a partir de
.
Passo 4
Fórmula do trabalho para processo politrópico (derivação e interpretação):
- Trabalho definido por
. Substitua usando constante . Assim:
- Então
- Para
a integral é elementar:
portanto
- Reagrupando usando
, ou simplesmente reconhecendo , uma forma muito prática é
- Outra forma útil, expressa em temperaturas, é obtida substituindo
:
Essa forma é frequentemente a mais direta quando se conhece
e
.
Passo 5
Energia interna, calor e entropia:
- Para gás ideal com calores específicos constantes vale
onde
é o calor específico a volume constante (unidades por massa por temperatura). Explique: energia interna de um gás ideal depende só de
, por isso a forma simples acima.
2) Pela primeira lei:
2) Pela primeira lei:
Fatorando
:
- Para a variação de entropia entre 1 e 2, usando propriedades de gás ideal com
constante:
Observação: mesmo sendo o processo reversível, se
(com
) o processo não é adiabático e
. Para o processo isoentrópico
,
.
Passo 6
Especializando para
(fazendo as substituições e simplificações úteis):
- Primeiro calcule
e :
- Relação temperatura-volume:
- Relação temperatura-pressão:
- Trabalho em termos de pressões e volumes:
Interpretação rápida: se o sistema se expande de
para
então
pode ser menor que
; a fórmula acima dá o sinal correto para
conforme a integral
.
- Trabalho em termos de temperaturas:
- Calor trocado:
Observação: a quantidade
pode ser positiva ou negativa dependendo do gás (lembre que
). Para um gás diatômico típico,
, então
; portanto o sinal de
segue o sinal de
.
Passo 7
Receita prática — passo a passo que você deve executar quando tiver os números do Prob. 11.95:
- Identifique o que é conhecido no problema:
e ou . Se faltar use . - Use
para calcular a incógnita de estado que faltar (por exemplo se for dado, ou se for dado). Com isso vira . - Calcule
por (ou pela relação com pressões se for mais conveniente). - Calcule
usando . Use unidades coerentes. - Calcule
. - Calcule
ou use a fórmula direta para . - Se for pedido
(entropia): . Substitua a relação para simplificar se quiser.
Passo 8
Observações práticas e dicas para a prova (jeito rápido de pensar):
- Sempre confira unidades: trabalhar em SI torna a vida mais fácil (
em Pa, em m^3, em J/(kg·K) ou use molar com ). - Se o problema do seu professor pede comparar com a expansão isoentrópica, note que para isoentrópico ideal você teria
. Como aqui e normalmente para diatômico é e para monoatômico é , o fato de ser um pouco maior que (onde imagino que é ) muda o valor do trabalho e do calor; as fórmulas que dei permitem ver essa diferença diretamente. - Se o problema pedir apenas razão ou variações adimensionais (por exemplo razão de trabalhos), muitas vezes massa e
cancelam — aproveite isso para cálculos rápidos sem conhecer .
Resposta
Não é possível fornecer os valores numéricos pedindo para “repetir o Prob. 11.95” porque os dados do Problema 11.95 (
,
,
,
ou
, massa
ou número de moles, e especificação do que calcular) não foram fornecidos. Forneça esses dados e eu aplico imediatamente os passos acima com
e te entrego a resolução completa passo a passo.