Ar úmido entra em uma serpentina de refrigeração a uma temperatura de bulbo seca de 31,67^{\circ} \mathrm{C} e temperatura de bulbo molhado de 18,33{ }^{\circ} \mathrm{C} em uma vazão de 0,661 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. A temperatura da superfície da serpentina é de 12,78^{\circ} \mathrm{C}. Se 3,5 toneladas de refrigerante estão disponíveis, encontre a temperatura de bulbo-seco e bulbo-molhado do ar que deixa a serpentina. Assuma uma pressão a nível do mar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura de bulbo seco do ar de entrada: T_{1} = 31{,}67^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de bulbo molhado do ar de entrada: T_{wb1} = 18{,}33^\circ\mathrm{C}.
    • Vazão volumétrica do ar: \dot V = 0{,}661\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Temperatura da superfície da serpentina: T_s = 12{,}78^\circ\mathrm{C}.
    • Capacidade de refrigeração disponível: 3{,}5 toneladas de refrigeração.
    • Pressão: nível do mar \Rightarrow p = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • O que o problema pede:
    • Encontrar a temperatura de bulbo seco do ar que sai da serpentina T_{2}.
    • Encontrar a temperatura de bulbo molhado do ar que sai da serpentina T_{wb2}.
  • Observações úteis que vou usar (apresento as fórmulas/constantes que vou precisar):
    • Fórmula de pressão de saturação (Magnus): \displaystyle e_s(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right) em \mathrm{kPa}, com T em ^\circ\mathrm{C}.
    • Relação entre razão de mistura (humidade específica) w e pressão parcial de vapor e: w=\frac{0{,}622\,e}{p-e}.
    • Constantes usuais (por kg de ar seco, unidades \mathrm{kJ/kg\,K} e \mathrm{kJ/kg}):
      • Calor específico do ar seco: c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
      • Calor específico do vapor d’água: c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
      • Calor latente aproximado de vaporização: h_{fg}=2501\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Entalpia do ar úmido por kg de ar seco: h = c_{pa}\,T + w\,(h_{fg} + c_{pv}\,T),com T em ^\circ\mathrm{C} e h em \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.
    • Conversão tonelada de refrigeração: 1\\ \text{TR}=3{,}51685\\ \mathrm{kW}.
    • Para verificar se haverá condensação: comparar w_1 com w_{sat}(T_s). Se w_1>w_{sat}(T_s) ocorre condensação (latente); se w_1\le w_{sat}(T_s) não ocorre condensação e a humidade específica permanece w_2=w_1 (apenas resfriamento sensível).
    • Energia removida pela serpentina: \dot Q = (\text{capacidade em kW}). Para o ar: \dot Q = \dot m_{da}\,(h_1 - h_2), onde \dot m_{da} é a vazão mássica de ar seco.
  • Pronto — agora começo a resolução.

Passo 2

Determinar a humidade específica do ar de entrada w_1 a partir de T_{1} e T_{wb1}.
  1. Calcular a pressão de saturação no bulbo molhado T_{wb1}=18{,}33^\circ\mathrm{C} usando Magnus:
e_s(T_{wb1}) = 0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 18{,}33}{18{,}33+237{,}3}\right).
Faço as contas:
\frac{17{,}27\cdot 18{,}33}{18{,}33+237{,}3} \approx 1{,}2376, \qquad \exp(1{,}2376)\approx 3{,}446,
e_s(T_{wb1}) \approx 0{,}61078\times 3{,}446 \approx 2{,}106\\ \mathrm{kPa}.
  1. Calcular a constante psicrométrica \gamma:
\gamma = \frac{c_{pa}\,p}{0{,}622\,h_{fg}}.
Substituindo c_{pa}=1{,}006\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}, p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}, h_{fg}=2501\\ \mathrm{kJ/kg},
\gamma \approx \frac{1{,}006\times 101{,}325}{0{,}622\times 2501} \approx 0{,}06551\\ \mathrm{kPa/^\circ C}.
  1. Relação entre pressão de vapor real e, e_s(T_{wb1}), T_1 e T_{wb1} (equação do bulbo molhado):
e = e_s(T_{wb1}) - \gamma\,(T_1 - T_{wb1}).
Calculo T_1-T_{wb1}=31{,}67-18{,}33=13{,}34^\circ\mathrm{C}, então
e \approx 2{,}106 - 0{,}06551\times 13{,}34 \approx 2{,}106 - 0{,}8739 \approx 1{,}232\\ \mathrm{kPa}.
  1. Agora w_1 pela fórmula:
w_1=\frac{0{,}622\,e}{p-e}=\frac{0{,}622\times 1{,}232}{101{,}325-1{,}232}.
Calculo numérico:
w_1 \approx \frac{0{,}7663}{100{,}093}\approx 0{,}00766\\ \mathrm{kg\;vapor/kg\;ar\;seco}.
(Comentário: esse w_1 significa que o ar de entrada tem cerca de 7{,}66 g de vapor por kg de ar seco.)

Passo 3

Calcular a vazão mássica de ar seco \dot m_{da} a partir da vazão volumétrica e das condições de entrada.
Para isso uso a equação dos gases ideais para o ar seco parcial:
\dot m_{da} = \dot V \cdot \rho_{da} \qquad\text{com}\qquad \rho_{da}=\frac{p_d}{R_d\,T_1},
onde p_d=p-e é a pressão parcial do ar seco, R_d=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, e T_1 em Kelvin.
  1. Converter T_1 para Kelvin: T_1=31{,}67^\circ\mathrm{C}=304{,}82\\ \mathrm{K}.
  2. Calcular p_d = 101{,}325 - 1{,}232 = 100{,}093\\ \mathrm{kPa} = 100{,}093\cdot 10^3\\ \mathrm{Pa}.
  3. Densidade do ar seco:
\rho_{da}=\frac{100093}{287{,}058 \times 304{,}82}\\ \mathrm{kg/m^3}\approx 1{,}1456\\ \mathrm{kg/m^3}.
  1. Vazão mássica de ar seco:
\dot m_{da} = 0{,}661\\ \mathrm{m^3/s}\times 1{,}1456\\ \mathrm{kg/m^3}\approx 0{,}7576\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Calcular a entalpia específica do ar úmido de entrada h_1 (por kg de ar seco).
Usando
h_1 = c_{pa}\,T_1 + w_1\,(h_{fg} + c_{pv}\,T_1).
Substituindo valores (com T_1 em ^\circ\mathrm{C}):
h_1 \approx 1{,}006\times 31{,}67 + 0{,}007659\times\big(2501 + 1{,}86\times 31{,}67\big).
Calculo detalhado:
1{,}006\times 31{,}67 \approx 31{,}86\\ \mathrm{kJ/kg},
1{,}86\times 31{,}67 \approx 58{,}90,\quad 2501+58{,}90=2560{,}90,
w_1\times 2560{,}90 \approx 0{,}007659\times 2560{,}90 \approx 19{,}60\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto
h_1 \approx 31{,}86 + 19{,}60 \approx 51{,}46\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.

Passo 5

Determinar a energia disponível da serpentina em kW e verificar se ela é suficiente para resfriar o ar até a temperatura da superfície T_s sem condensação.
  1. Capacidade disponível em kW:
\dot Q = 3{,}5\\ \text{TR}\times 3{,}51685\\ \mathrm{kW/TR} \approx 12{,}308\\ \mathrm{kW}.
  1. Primeiro verificar se haverá condensação: calcular w_{sat}(T_s) (humidade de saturação à temperatura da superfície) e comparar com w_1.
  • Calcular e_s(T_s) com T_s=12{,}78^\circ\mathrm{C}:
e_s(T_s)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 12{,}78}{12{,}78+237{,}3}\right).
Faço as contas:
\frac{17{,}27\cdot 12{,}78}{249{,}+?}\approx 0{,}8824,\quad \exp(0{,}8824)\approx 2{,}416,
e_s(T_s)\approx 0{,}61078\times 2{,}416 \approx 1{,}476\\ \mathrm{kPa}.
  • Então
w_{sat}(T_s)=\frac{0{,}622\,e_s(T_s)}{p-e_s(T_s)}=\frac{0{,}622\times 1{,}476}{101{,}325-1{,}476}.
Numérico:
w_{sat}(T_s)\approx \frac{0{,}917}{99{,}849}\approx 0{,}00919\\ \mathrm{kg/kg}.
Comparação: w_1\approx 0{,}00766 e w_{sat}(T_s)\approx 0{,}00919. Como w_1 < w_{sat}(T_s), o ar de entrada é mais seco que a saturação à temperatura da superfície: portanto NÃO ocorrerá condensação. Conclusão: a humidade específica permanece constante: w_2 = w_1. Assim a serpentina só pode remover calor sensível (nenhuma remoção latente).
  1. Agora verificar se a potência disponível \dot Q é suficiente para resfriar o ar, mantendo w constante, até T_s. Energia necessária para levar o ar de T_1 até T_s (somente sensível) é:
\dot Q_{req} = \dot m_{da}\, (c_{pa} + w_1 c_{pv})\,(T_1 - T_s).
Calculo do termo:
c_{pa} + w_1 c_{pv} = 1{,}006 + 0{,}007659\times 1{,}86 \approx 1{,}006 + 0{,}01425 = 1{,}02025\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Diferença de temperatura: T_1 - T_s = 31{,}67 - 12{,}78 = 18{,}89^\circ\mathrm{C}.
Portanto
\dot Q_{req} \approx 0{,}7576\\ \mathrm{kg/s}\times 1{,}02025\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times 18{,}89\\ \mathrm{K} \approx 14{,}60\\ \mathrm{kW}.
Como \dot Q_{req}\approx 14{,}60\\ \mathrm{kW} > \dot Q\approx 12{,}308\\ \mathrm{kW}, a serpentina NÃO consegue levar todo o ar até T_s. Logo a saída terá temperatura T_2 maior que T_s, e sem mudança na humidade específica ( w_2=w_1). Vou usar a energia disponível para determinar T_2.

Passo 6

Determinar a entalpia específica do ar de saída h_2 a partir da energia removida, e então obter a temperatura de bulbo seco de saída T_2 (com w_2=w_1).
  1. Energia removida por kg de ar seco:
\Delta h = \frac{\dot Q}{\dot m_{da}} = \frac{12{,}308\\ \mathrm{kJ/s}}{0{,}7576\\ \mathrm{kg/s}} \approx 16{,}256\\ \mathrm{kJ/kg}.
  1. Então entalpia de saída:
h_2 = h_1 - \Delta h \approx 51{,}46 - 16{,}256 \approx 35{,}204\\ \mathrm{kJ/kg\;ar\;seco}.
  1. Com w_2=w_1, usar a expressão da entalpia para resolver T_2:
h_2 = c_{pa}\,T_2 + w_1\,(h_{fg} + c_{pv}\,T_2) = \big(c_{pa} + w_1 c_{pv}\big)T_2 + w_1 h_{fg}.
Isolando T_2:
T_2 = \frac{h_2 - w_1 h_{fg}}{c_{pa} + w_1 c_{pv}}.
  1. Substituo valores:
w_1 h_{fg} \approx 0{,}007659\times 2501 \approx 19{,}150\\ \mathrm{kJ/kg},
denominador já calculado c_{pa} + w_1 c_{pv}\approx 1{,}02025\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Portanto
T_2 \approx \frac{35{,}204 - 19{,}150}{1{,}02025} \approx \frac{16{,}054}{1{,}02025} \approx 15{,}73^\circ\mathrm{C}.
Conclusão parcial: a temperatura de bulbo seco de saída é aproximadamente T_2 \approx 15{,}73^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Determinar a temperatura de bulbo molhado de saída T_{wb2} sabendo T_2 e w_2.
Vou usar novamente a equação do bulbo molhado (a mesma aplicada no cálculo de w_1), que pode ser escrita como
e = e_s(T_{wb2}) - \gamma\,(T_2 - T_{wb2}),
onde e é a pressão parcial de vapor do ar de saída, relacionada com w_2 por
e=\frac{w_2\,p}{0{,}622 + w_2}.
  1. Calcular e a partir de w_2=w_1:
e=\frac{0{,}007659\times 101{,}325}{0{,}622 + 0{,}007659} \approx 1{,}234\\ \mathrm{kPa}.
(esse valor coincide com o e calculado no passo 2, como esperado, pois w não mudou.)
  1. Resolver para T_{wb2} a equação implícita
e_s(T_{wb2}) - \gamma\,(T_2 - T_{wb2}) - e = 0,
onde e_s é a função não-linear de T_{wb2} (Magnus). Vou resolver por iteração simples (teste de valores), mostrando o raciocínio:
  • Chute inicial: T_{wb2} deve estar entre o ponto de orvalho e T_2. Testes rápidos:
    • Para T_{wb2}=13{,}0^\circ\mathrm{C}: e_s(13)\approx 1{,}500\\ \mathrm{kPa},\quad \gamma(T_2-13)=0{,}06551\times(15{,}73-13)=0{,}1789,
e_s(13)-\gamma\,(T_2-13)\approx 1{,}500-0{,}1789=1{,}321\\ \mathrm{kPa} > e(=1{,}234).
  • Para T_{wb2}=12{,}0^\circ\mathrm{C}: e_s(12)\approx 1{,}402\\ \mathrm{kPa},\quad \gamma(T_2-12)=0{,}06551\times 3{,}73\approx 0{,}2445,
e_s(12)-\gamma\,(T_2-12)\approx 1{,}402-0{,}2445=1{,}1575\\ \mathrm{kPa} < e.
  • Portanto T_{wb2} está entre 12{,}0^\circ\mathrm{C} e 13{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Refinando:
    • Para T_{wb2}=12{,}5^\circ\mathrm{C}: e_s(12{,}5)\approx 1{,}448\\ \mathrm{kPa},\quad \gamma(T_2-12{,}5)=0{,}06551\times 3{,}23\approx 0{,}2116,
e_s-\gamma\,(T_2-12{,}5)\approx 1{,}448-0{,}2116=1{,}2364\\ \mathrm{kPa},
que está muito próximo de \(e=1{,}234\\ \mathrm{kPa}\) (diferença \(\approx 0{,}0024\\ \mathrm{kPa}\)).
  • Um ajuste fino dá T_{wb2}\approx 12{,}49^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura de bulbo molhado de saída é aproximadamente T_{wb2}\approx 12{,}49^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_2 \approx 15{,}73^\circ\mathrm{C}
T_{wb2} \approx 12{,}49^\circ\mathrm{C}

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