“A relação de pressão no compressor de um ciclo Brayton, no qual ar é inserido a 27^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar, é 10. A temperatura na entrada da turbina é 1127^{\circ} \mathrm{C} e o ar apresenta uma vazão de 5 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}. Determine a potência líquida produzida em kW e eficiência térmica do ciclo.”

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • razão de pressão no compressor: \,r_p=10.
    • ar entra no compressor a \,27^{\circ}\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar}.
    • temperatura na entrada da turbina: \,1127^{\circ}\mathrm{C}.
    • vazão volumétrica do ar na entrada: \,\dot V=5\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • O enunciado pede:
    1. determinar a potência líquida produzida (em kW);
    2. determinar a eficiência térmica do ciclo (adimensional ou em %).

Passo 2

Assumirei o ciclo Brayton ideal com compressor e turbina isentrópicos e ar tratado como gás perfeito com calores específicos constantes (assunções padrão para exercícios desse tipo). Valores tomados (valores usuais a temperatura ambiente):
  • razão de calor específico: \gamma = 1,4.
  • calor específico a pressão constante: \,c_p = 1,005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • constante do gás para o ar: \,R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Obs.: \,c_p está em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} porque cálculos de energia serão em kJ (1 kJ/s = 1 kW). Para densidade uso R em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e pressão em Pa.

Passo 3

Converto temperaturas e pressão para unidades absolutas e SI:
  • temperatura ambiente (entrada compressor): T_1 = 27^{\circ}\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.
  • temperatura entrada turbina: T_3 = 1127^{\circ}\mathrm{C} = 1127 + 273 = 1400\\ \mathrm{K}.
  • pressão de entrada: p_1 = 1\\ \mathrm{bar} = 1\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Calcular a massa mássica que entra por segundo a partir da vazão volumétrica usando a equação do gás perfeito:
\rho = \frac{p_1}{R\,T_1}.
Substituindo:
\rho = \frac{1\times10^{5}}{287\cdot 300} \\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Faço a conta:
\rho \approx \frac{100000}{86100} \approx 1,1614\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Portanto a vazão mássica é
\dot m = \rho\,\dot V = 1,1614\cdot 5 \approx 5,807\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Determinar temperaturas após compressão isentrópica ( T_2) e após expansão isentrópica na turbina ( T_4). A relação isentrópica para um gás perfeito é
\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
No ciclo simples de Brayton p_2/p_1 = r_p e p_3/p_4 = r_p, logo para a expansão
\frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = r_p^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Defino o expoente
a = \frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1,4-1}{1,4} = \frac{0,4}{1,4} \approx 0,285714.
Calculo r_p^{a}:
r_p^{a} = 10^{0,285714} \approx 1,9307.
Agora:
T_2 = T_1\,r_p^{a} \approx 300\cdot 1,9307 \approx 579,21\\ \mathrm{K},
T_4 = T_3\,r_p^{-a} \approx 1400\cdot \frac{1}{1,9307} \approx 725,20\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular os trabalhos específicos (por kg) do compressor e da turbina usando w = c_p\Delta T.
  • trabalho do compressor (entrada para saída do compressor):
    w_c = c_p\,(T_2 - T_1).
    Substituindo:
    w_c = 1,005\cdot (579,21 - 300) = 1,005\cdot 279,21 \approx 280,61\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • trabalho da turbina:
    w_t = c_p\,(T_3 - T_4).
    Substituindo:
    w_t = 1,005\cdot (1400 - 725,20) = 1,005\cdot 674,80 \approx 678,17\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • trabalho líquido específico:
    w_{net} = w_t - w_c \approx 678,17 - 280,61 \approx 397,56\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Calcular potência líquida total (kW) a partir da vazão mássica:
\dot W_{net} = \dot m \, w_{net}.
Substituindo:
\dot W_{net} \approx 5,807\cdot 397,56 \approx 2308,7\\ \mathrm{kW}.
Arredondando para 3 algarismos significativos: \approx 2309\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Calcular a eficiência térmica do ciclo. O calor fornecido por unidade de massa (entrada de calor no combustor) é
q_{in} = c_p\,(T_3 - T_2).
Substituindo:
q_{in} = 1,005\cdot (1400 - 579,21) = 1,005\cdot 820,79 \approx 824,90\\ \mathrm{kJ/kg}.
A eficiência térmica é
\eta = \frac{w_{net}}{q_{in}} = \frac{397,56}{824,90} \approx 0,4819 \approx 48,19\%.
Arredondando: \eta \approx 48,2\%.

Resposta

\dot W_{net} \approx 2309\\ \mathrm{kW}
\eta \approx 48{,}2\\ \%

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