1. Qual deve ser a razāo comprimento-diämetro ( \mathrm{L} / \mathrm{d} ) para um arame de aço ( \mathrm{G}=8,4 \times 10^{3} \mathrm{kgt} / \mathrm{mm}^{2} ), se a tensão de cisalhamento máxima for 9,45 \mathrm{kgf} / \mathrm{mm}^{2}, quando o ângulo de torção tiver 90^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Módulo de cisalhamento: G = 8,4\times10^{3}\\ \mathrm{kgf/mm^{2}}.
  • Tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=9,45\\ \mathrm{kgf/mm^{2}}.
  • Ângulo de torção aplicado: 90^\circ.
O que o problema pede:
  • Determinar a razão comprimento‑diâmetro \dfrac{L}{d} do arame que faça com que, sob esse ângulo de torção, a tensão de cisalhamento máxima seja \tau_{\max}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas da torção para um eixo circular (arame cilíndrico):
  • A tensão de cisalhamento máxima na superfície, em função do torque T, raio c e momento polar de inércia J, é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Expliquei: \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento na superfície (unidade \mathrm{kgf/mm^{2}}), T é o torque (unidade \mathrm{kgf\cdot mm}), c é o raio do fio (unidade \mathrm{mm}) e J é o momento polar de inércia da seção circular (unidade \mathrm{mm^{4}}).
  • A relação entre o torque T, o ângulo de torção \theta (em radianos), o comprimento L, o módulo de cisalhamento G e J é
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.
Expliquei: \theta é o ângulo de torção em radianos, L é o comprimento do elemento torcido, G é o módulo de cisalhamento e J o mesmo já definido.
  • Para uma seção circular de diâmetro d, o raio é c=\dfrac{d}{2} e o momento polar de inércia vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Expliquei: J mede a resistência geométrica à torção da seção circular; a expressão é padrão para um círculo.

Passo 3

Vamos eliminar T e J para obter uma relação direta entre \theta, \tau_{\max}, G, L e d.
Da primeira fórmula isolamos T:
T=\frac{\tau_{\max} J}{c}.
Substituindo esse T na fórmula do ângulo de torção:
\theta=\frac{(\tau_{\max} J / c)\,L}{G\,J}.
As J cancelam:
\theta=\frac{\tau_{\max}\,L}{G\,c}.
Expliquei: essa expressão mostra que, para um fio circular, o ângulo de torção \theta é proporcional à razão \dfrac{L}{c} e à tensão de cisalhamento aplicada, inversamente proporcional ao módulo G.

Passo 4

Isolando L na expressão anterior:
L=\frac{\theta\,G\,c}{\tau_{\max}}.
Como queremos a razão \dfrac{L}{d} e c=\dfrac{d}{2}, dividimos ambos os lados por d:
\frac{L}{d}=\frac{\theta\,G}{\tau_{\max}}\cdot\frac{c}{d} =\frac{\theta\,G}{\tau_{\max}}\cdot\frac{d/2}{d} =\frac{\theta\,G}{2\,\tau_{\max}}.
Conclusão: a razão \dfrac{L}{d} é independente do diâmetro absoluto e é dada por
\frac{L}{d}=\frac{\theta\,G}{2\,\tau_{\max}}.
Expliquei: isso é útil porque não precisamos do diâmetro numérico; só do ângulo (radianos), G e \tau_{\max}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro convertemos o ângulo para radianos:
\theta=90^\circ=\frac{\pi}{2}\\ \text{rad}.
Substituindo em
\frac{L}{d}=\frac{\theta\,G}{2\,\tau_{\max}}
temos
\frac{L}{d}=\frac{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\left(8,4\times10^{3}\right)}{2\cdot 9,45}.
Faço simplificação aritmética:
\frac{L}{d}=\frac{\pi\cdot 8,4\times10^{3}}{4\cdot 9,45} =\frac{\pi\cdot 8400}{37,8}.
Calculando numericamente (mantendo duas casas decimais):
\frac{L}{d}\approx 698,13.
Expliquei: o valor foi obtido com \pi\approx3,14159265 e divisão final feita normalmente.

Passo 6

Interpretação breve (motivadora): a razão L/d\approx698 significa que o fio precisa ser bastante alongado em relação ao seu diâmetro para que, com um giro de 90^\circ, a tensão de cisalhamento atinja 9,45\\ \mathrm{kgf/mm^{2}}. Dá para ver que \dfrac{L}{d} cresce com G e com o ângulo e diminui com a tensão admissível — intuível fisicamente.

Resposta

\frac{L}{d}\approx698{,}13