- Qual deve ser a razāo comprimento-diämetro (
) para um arame de aço (
), se a tensão de cisalhamento máxima for
, quando o ângulo de torção tiver
?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- Módulo de cisalhamento:
. - Tensão de cisalhamento máxima:
. - Ângulo de torção aplicado:
.
O que o problema pede:
- Determinar a razão comprimento‑diâmetro
do arame que faça com que, sob esse ângulo de torção, a tensão de cisalhamento máxima seja .
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas básicas da torção para um eixo circular (arame cilíndrico):
- A tensão de cisalhamento máxima na superfície, em função do torque
, raio e momento polar de inércia , é
Expliquei:
é a tensão de cisalhamento na superfície (unidade
),
é o torque (unidade
),
é o raio do fio (unidade
) e
é o momento polar de inércia da seção circular (unidade
).
- A relação entre o torque
, o ângulo de torção (em radianos), o comprimento , o módulo de cisalhamento e é
Expliquei:
é o ângulo de torção em radianos,
é o comprimento do elemento torcido,
é o módulo de cisalhamento e
o mesmo já definido.
- Para uma seção circular de diâmetro
, o raio é e o momento polar de inércia vale
Expliquei:
mede a resistência geométrica à torção da seção circular; a expressão é padrão para um círculo.
Passo 3
Vamos eliminar
e
para obter uma relação direta entre
,
,
,
e
.
Da primeira fórmula isolamos
:
Substituindo esse
na fórmula do ângulo de torção:
As
cancelam:
Expliquei: essa expressão mostra que, para um fio circular, o ângulo de torção
é proporcional à razão
e à tensão de cisalhamento aplicada, inversamente proporcional ao módulo
.
Passo 4
Isolando
na expressão anterior:
Como queremos a razão
e
, dividimos ambos os lados por
:
Conclusão: a razão
é independente do diâmetro absoluto e é dada por
Expliquei: isso é útil porque não precisamos do diâmetro numérico; só do ângulo (radianos),
e
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro convertemos o ângulo para radianos:
Substituindo em
temos
Faço simplificação aritmética:
Calculando numericamente (mantendo duas casas decimais):
Expliquei: o valor foi obtido com
e divisão final feita normalmente.
Passo 6
Interpretação breve (motivadora): a razão
significa que o fio precisa ser bastante alongado em relação ao seu diâmetro para que, com um giro de
, a tensão de cisalhamento atinja
. Dá para ver que
cresce com
e com o ângulo e diminui com a tensão admissível — intuível fisicamente.