Devem ser armazenados 2.000 kg de metano, sob pressão, em um tanque a 110 bar e 20^circ C.
Determine o volume do tanque utilizando a equação de Peng-Robinson.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente descobrir o volume de um tanque que vai armazenar 2 000 kg de metano (CH₄) a 110 bar e 20 °C, usando a equação de Peng–Robinson.
Conteúdo da matéria: termodinâmica de gases reais, equação de estado de Peng–Robinson.
O que vamos precisar:
• Converter massa em número de mols;
• Propriedades críticas do metano (T_c, P_c, fator acêntrico ω);
• Fórmulas da Peng–Robinson para calcular a, b, α(T), e as variáveis adimensionais A e B;
• Montar e resolver a equação cúbica em Z (fator de compressibilidade);
• Calcular o volume usando V = Z,n,R,TP.

Passo 2

Primeiro, converto massa em mols:
• Massa molar do CH₄: M = 16,04 g/mol = 0,01604 kg/mol.
• Número de mols:
n = mM = 2000 kg0,01604 kg/mol approx 124,688 molapprox1,247times10^5 mol
Também passo temperatura e pressão para unidades absolutas:
T = 20 ^circ C = 293,15 K,
P = 110 bar = 1,10times10^7 Pa,
• Constante universal: R = 8,314 J/(mol,K).

Passo 3

Agora, os parâmetros de Peng–Robinson. Para o metano:
Tc = 190,6 K, Pc = 45,99 bar=4,599times10^6 Pa, omega=0,011
Cálculo de ac e b:
ac = 0,45724,R^2Tc^2Pc, b = 0,07780,R,TcPc
Substituindo números:
acapprox0,2499 (SI), bapprox2,68times10^-5 m^3/mol
Fator de correção kappa e alpha(T):
kappa = 0,37464 + 1,54226,omega - 0,26992,omega^2 approx0,3916,
alpha(T) = l[1+kappal(1-raizT/Tcr)r]^2 approx0,8211
Então
a(T)=ac,alpha(T)approx0,2499times0,8211 = 0,2054

Passo 4

Defino as variáveis adimensionais A e B:
A = a(T),PR^2T^2, B = b,PR,T
Substituindo:
Aapprox0,3801, Bapprox0,1212

Passo 5

A equação cúbica para o fator de compressibilidade Z (do Peng–Robinson) é:
Z^3 - (1 - B),Z^2 + l(A - 2B - 3B^2r),Z - l(A,B - B^2 - B^3r) = 0
Com nossos valores:
Z^3 -0,8788,Z^2 +0,0936,Z -0,0296 = 0
Resolvendo numericamente (por tentativa ou método de Newton) a gente encontra o único Zapprox0,809.

Passo 6

Por fim, o volume total do tanque é
V = Z,n,R,TP = 0,809times1,247times10^5,times8,314,times293,151,10times10^7 m^3 approx22,4 m^3

Resposta

O volume do tanque deve ser de aproximadamente 22,4 m³.

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