1. Qual é o diāmetro mínimo necessário de uma barra circular sujeita a um torque \mathrm{T}=363.200 \mathrm{kgf} . \mathrm{m} se a tensão de cisalhamento admissível for igual a 2,10 \mathrm{kgf} / \mathrm{mm}^{2} e o ângulo de torção admissível 'por unidade de comprimento for 1^{\circ} por 3.600 mm ? (Admitir \mathrm{G}=8,4 \times 10^{3} \mathrm{kgf} / \mathrm{mm}^{2} ).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com os valores numéricos já prontos para usar):
  • Torque aplicado: T = 363{,}200\\ \mathrm{kgf\cdot m}.
    Converter para \mathrm{kgf\cdot mm}: T = 363{,}200\times 1000 = 363{,}200{,}000\\ \mathrm{kgf\cdot mm}.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}} = 2{,}10\\ \mathrm{kgf/mm^{2}}.
  • Ângulo de torção admissível por unidade de comprimento: 1^\circ por 3{,}600\\ \mathrm{mm}.
    Converter para radianos por mm: \displaystyle \varphi'_{\text{adm}}=\frac{1^\circ}{3{,}600\\ \mathrm{mm}}=\frac{\pi/180}{3{,}600}=\frac{\pi}{648000}\\ \mathrm{rad/mm}\approx 4{,}8481368\times10^{-6}\\ \mathrm{rad/mm}.
  • Módulo de cisalhamento: G=8{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{kgf/mm^{2}}.
O que se pede: determinar o diâmetro mínimo d da barra circular que satisfaça simultaneamente as duas limitações (tensão de cisalhamento e ângulo de torção).

Passo 2

Relembrando as fórmulas de torção para uma barra circular maciça — vou explicar devagarinho:
  • A tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio externo) vale
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde T é o torque, c é o raio da seção ( c=\dfrac{d}{2}) e J é o momento polar de inércia da seção circular. Para uma seção circular maciça
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c e J obtemos a fórmula mais usada para tensão por torção em eixo circular:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
  • O ângulo de torção por unidade de comprimento (ou seja, a derivada do ângulo ao longo do eixo) para um elemento de comprimento é
\varphi'=\frac{T}{J\,G}.
Substituindo J
\varphi'=\frac{32\,T}{\pi G d^{4}}.
Essas são as duas relações que impõem restrições sobre d:
  1. Pela tensão admissível: \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}.
  2. Pelo ângulo admissível: \varphi'\le \varphi'_{\text{adm}}.
Vou resolver cada uma para d e depois tomar o maior resultado (o maior diâmetro é o que garante que ambas as restrições sejam satisfeitas).

Passo 3

Resolver a restrição de tensão para d.
Partindo de
\tau_{\text{adm}}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}},
isola-se d:
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}} \qquad\Rightarrow\qquad d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
Substituindo os valores (note que já converti T para \mathrm{kgf\cdot mm}):
\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}} = \frac{16\cdot 363{,}200{,}000}{\pi\cdot 2{,}10} = \frac{5\,811\,200\,000}{\pi\cdot 2{,}10}.
Calculemos o quociente numérico:
\pi\cdot 2{,}10 \approx 6{,}597344577,
\frac{5\,811\,200\,000}{6{,}597344577}\approx 880\,839\,243\\ (\text{valor aproximado}).
Agora a raiz cúbica:
d=\bigl(880\,839\,243\bigr)^{1/3}\approx 959{,}3\\ \mathrm{mm}.
Portanto, a partir da condição de tensão obtém-se
d_{\tau}\approx 959{,}3\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Resolver a restrição de ângulo de torção para d.
Partindo de
\varphi'_{\text{adm}}=\frac{32\,T}{\pi G d^{4}},
isola-se d:
d^{4}=\frac{32\,T}{\pi G \varphi'_{\text{adm}}} \qquad\Rightarrow\qquad d=\left(\frac{32\,T}{\pi G \varphi'_{\text{adm}}}\right)^{1/4}.
Substituindo os valores (novamente T em \mathrm{kgf\cdot mm}, G em \mathrm{kgf/mm^{2}}, \varphi'_{\text{adm}}=\dfrac{\pi}{648000}\\ \mathrm{rad/mm}):
\frac{32\,T}{\pi G \varphi'_{\text{adm}}} = \frac{32\cdot 363{,}200{,}000}{\pi\cdot 8{,}4\times10^{3}\cdot \dfrac{\pi}{648000}} = \frac{32\cdot 363{,}200{,}000\cdot 648000}{\pi^{2}\cdot 8{,}4\times10^{3}}.
Fazendo os cálculos numéricos passo a passo:
\varphi'_{\text{adm}}=\frac{\pi}{648000}\approx 4{,}8481368\times10^{-6}\\ \mathrm{rad/mm},
\pi G \varphi'_{\text{adm}}\approx \pi\cdot 8400\cdot 4{,}8481368\times10^{-6}\approx 0{,}12794\\ (\text{aprox.}),
\frac{32\,T}{\pi G \varphi'_{\text{adm}}} \approx \frac{11\,622\,400\,000}{0{,}12794}\approx 9{,}0889\times10^{10}.
Agora a raiz quarta:
d=\bigl(9{,}0889\times10^{10}\bigr)^{1/4}\approx 549{,}3\\ \mathrm{mm}.
Portanto, a partir da condição de ângulo de torção obtém-se
d_{\varphi}\approx 549{,}3\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Comparar as duas exigências e escolher o maior diâmetro (porque o diâmetro real deve satisfazer ambas):
  • d_{\tau}\approx 959{,}3\\ \mathrm{mm} (restrição por tensão),
  • d_{\varphi}\approx 549{,}3\\ \mathrm{mm} (restrição por ângulo).
A condição dominante é a da tensão de cisalhamento, portanto o diâmetro mínimo necessário é
d_{\min}=d_{\tau}\approx 959{,}3\\ \mathrm{mm}.

Resposta

\,959{,}3\\ \mathrm{mm}