- Qual é o diāmetro mínimo necessário de uma barra circular sujeita a um torque
se a tensão de cisalhamento admissível for igual a
e o ângulo de torção admissível 'por unidade de comprimento for
por 3.600 mm ? (Admitir
).
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com os valores numéricos já prontos para usar):
- Torque aplicado:
.
Converter para: . - Tensão de cisalhamento admissível:
. - Ângulo de torção admissível por unidade de comprimento:
por .
Converter para radianos por mm: - Módulo de cisalhamento:
.
O que se pede: determinar o diâmetro mínimo
da barra circular que satisfaça simultaneamente as duas limitações (tensão de cisalhamento e ângulo de torção).
Passo 2
Relembrando as fórmulas de torção para uma barra circular maciça — vou explicar devagarinho:
- A tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio externo) vale
onde
é o torque,
é o raio da seção (
) e
é o momento polar de inércia da seção circular. Para uma seção circular maciça
Substituindo
e
obtemos a fórmula mais usada para tensão por torção em eixo circular:
- O ângulo de torção por unidade de comprimento (ou seja, a derivada do ângulo ao longo do eixo) para um elemento de comprimento é
Substituindo
dá
Essas são as duas relações que impõem restrições sobre
:
- Pela tensão admissível:
. - Pelo ângulo admissível:
.
Vou resolver cada uma para
e depois tomar o maior resultado (o maior diâmetro é o que garante que ambas as restrições sejam satisfeitas).
Passo 3
Resolver a restrição de tensão para
.
Partindo de
isola-se
:
Substituindo os valores (note que já converti
para
):
Calculemos o quociente numérico:
Agora a raiz cúbica:
Portanto, a partir da condição de tensão obtém-se
Passo 4
Resolver a restrição de ângulo de torção para
.
Partindo de
isola-se
:
Substituindo os valores (novamente
em
,
em
,
):
Fazendo os cálculos numéricos passo a passo:
Agora a raiz quarta:
Portanto, a partir da condição de ângulo de torção obtém-se
Passo 5
Comparar as duas exigências e escolher o maior diâmetro (porque o diâmetro real deve satisfazer ambas):
-
(restrição por tensão), -
(restrição por ângulo).
A condição dominante é a da tensão de cisalhamento, portanto o diâmetro mínimo necessário é