Qual a diferença entre a flutuação de energia no ensemble canônico e no microcanônico?

Passo 1

O enunciado pede para comparar a flutuação de energia em dois ensembles da Mecânica Estatística: o microcanônico (sistema isolado de energia fixa) e o canônico (sistema em contato térmico com reservatório a temperatura T). Para isso, vamos usar a definição de variância de energia
\langle (\Delta E)^2\rangle = \langle E^2\rangle - \langle E\rangle^2
e relacioná-la às propriedades termodinâmicas de cada ensemble.

Passo 2

No ensemble microcanônico o sistema é isolado e a energia total E é rigorosamente constante. Logo, todo microestado tem a mesma energia e não há dispersão em torno de um valor médio. Matematicamente, isso significa
\Delta E = 0 \quad\Longrightarrow\quad \langle (\Delta E)^2\rangle = 0.

Passo 3

No ensemble canônico o sistema troca energia com um reservatório térmico a temperatura T. A distribuição de probabilidade dos microestados de energia E é
P(E)\propto e^{-\beta E},
onde \beta = 1/(k_B T). A variância de energia é dada por
\langle (\Delta E)^2\rangle = \frac{\partial^2 \ln Z}{\partial \beta^2} = k_B^2 T^2 \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} = k_B^2 T^2 C_V,
sendo Z a função de partição e C_V = \partial \langle E\rangle/\partial T a capacidade térmica a volume fixo.

Passo 4

Concluímos então que
  • no microcanônico \langle (\Delta E)^2\rangle = 0, pois E é fixo;
  • no canônico \langle (\Delta E)^2\rangle = k_B^2 T^2 C_V>0, ou seja, há flutuação de energia cujo desvio padrão cresce como \sqrt{C_V}. Em grandes sistemas (grande C_V\propto N) as flutuações relativas \langle(\Delta E)^2\rangle^{1/2}/\langle E\rangle\sim1/\sqrt{N} ficam muito pequenas, justificando a termodinâmica clássica.

Resposta

No microcanônico a energia não flutua ( \langle(\Delta E)^2\rangle=0). No canônico a variância de energia é
\langle(\Delta E)^2\rangle = k_B^2 T^2 C_V > 0,
isto é, há flutuações cuja magnitude é dada pela capacidade térmica do sistema.

Exercícios relacionados