Um disco de raio r gira com velocidade angular constante \omega_{2} em torno do braço A B C, que por sua vez gira com velocidade constante \omega_{1} em torno do eixo x. Determine
a velocidade e a aceleração angulares do disco

Passo 1

O enunciado descreve um disco apoiado no braço rígido ABC. O braço AB é um eixo fixo que gira em torno do eixo x com velocidade angular constante \omega_{1}. No ponto B há um elo BC que leva ao centro C do disco, e o disco gira em torno de seu próprio eixo (colocado ao longo de BC) com velocidade angular constante \omega_{2}. Precisamos achar a velocidade angular absoluta \boldsymbol{\omega} e a aceleração angular absoluta \boldsymbol{\alpha} do disco, usando a composição de velocidades angulares e a fórmula de Poisson para a derivada de vetores de um corpo que roda.

Passo 2

Escolhemos um referencial inercial \{O,\,x,y,z\} em que o braço AB gira ao redor de x com ângulo \varphi(t)=\omega_{1}t. O elo BC está sempre no plano yz, radial à posição de AB, de modo que o eixo do disco coincide com o versor
\mathbf{e}_{r}=\cos\varphi\,\mathbf{e}_{y}+\sin\varphi\,\mathbf{e}_{z}.
Como \varphi varia a \dot\varphi=\omega_{1}, temos
\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt} \;=\;\omega_{1}\,\mathbf{e}_{x}\times\mathbf{e}_{r}\,.

Passo 3

A velocidade angular absoluta do disco é a soma vetorial da rotação do braço e da rotação relativa do disco em torno de BC, isto é
\boldsymbol{\omega} =\underbrace{\omega_{1}\,\mathbf{e}_{x}}_{\text{braço}} \;+\; \underbrace{\omega_{2}\,\mathbf{e}_{r}}_{\text{disco relativo}}.ç

Passo 4

Para a aceleração angular absoluta aplicamos
\boldsymbol{\alpha} =\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\omega_{1}\mathbf{e}_{x}\bigr) +\frac{d}{dt}\bigl(\omega_{2}\mathbf{e}_{r}\bigr).
Como \omega_{1} e \omega_{2} são constantes e \mathbf{e}_{x} é fixo,
\frac{d}{dt}\bigl(\omega_{1}\mathbf{e}_{x}\bigr)=\mathbf{0}, \quad \frac{d}{dt}\bigl(\omega_{2}\mathbf{e}_{r}\bigr) =\omega_{2}\,\frac{d\mathbf{e}_{r}}{dt} =\omega_{2}\,\bigl(\omega_{1}\,\mathbf{e}_{x}\times\mathbf{e}_{r}\bigr).
Logo
\boxed{\boldsymbol{\alpha} =\omega_{1}\,\omega_{2}\,\bigl(\mathbf{e}_{x}\times\mathbf{e}_{r}\bigr).}
Se quisermos expandir em componentes, usando \mathbf{e}_{x}\times\mathbf{e}_{r} =\cos\varphi\,\mathbf{e}_{z}-\sin\varphi\,\mathbf{e}_{y}, fica
\boldsymbol{\alpha} =\omega_{1}\,\omega_{2}\,\bigl(\cos\varphi\,\mathbf{e}_{z}-\sin\varphi\,\mathbf{e}_{y}\bigr).

Resposta

\displaystyle \boldsymbol{\omega}=\omega_{1}\,\mathbf{e}_{x}+\omega_{2}\,\mathbf{e}_{r}
ewline \displaystyle \boldsymbol{\alpha}=\omega_{1}\,\omega_{2}\,(\mathbf{e}_{x}\times\mathbf{e}_{r})

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