Um disco de raio r gira com velocidade angular constante \omega_{2} em torno do braço A B C, que por sua vez gira com velocidade constante \omega_{1} em torno do eixo x. Determine
a velocidade e a aceleração do ponto D da periferia do disco.

Passo 1

O problema é de cinemática de corpo rígido com duas rotações simultâneas:
  1. O braço rígido ABC, de formato “em L”, tem a parte AB sobre o eixo x e a parte BC de comprimento L sempre perpendicular a x. Ele gira com velocidade angular constante \omega_{1} em torno do eixo x.
  2. O disco de raio r está preso em C por um eixo ao longo de BC e gira em torno desse eixo com velocidade angular constante \omega_{2}.
    Queremos a velocidade \mathbf v_{D} e a aceleração \mathbf a_{D} de um ponto D na periferia do disco.
    Para resolver vamos usar:
  • Vetor posição \mathbf r_{D/A}=\mathbf r_{C/A}+\mathbf r_{D/C}.
  • Regra \mathbf v=\dfrac{d\mathbf r}{dt}, \mathbf a=\dfrac{d\mathbf v}{dt}.
  • Notação de vetores unitários fixos \mathbf e_x,\mathbf e_y,\mathbf e_z e vetores que giram com o sistema.

Passo 2

Definimos: \displaystyle \mathbf e_x=(1,0,0), \displaystyle \mathbf e_y=(0,1,0), \displaystyle \mathbf e_z=(0,0,1).
Como BC tem comprimento L e gira em torno de x com \omega_{1}, o vetor unitário ao longo de BC é
\mathbf u(t) =\cos(\omega_{1}t)\,\mathbf e_{y} +\sin(\omega_{1}t)\,\mathbf e_{z}\,.
O ponto C está, portanto, em
\mathbf r_{C/A} =L\,\mathbf u(t)\,.
Para o disco, note que \mathbf u é o eixo de rotação, e a superfície do disco fica no plano perpendicular a \mathbf u. Uma base ortonormal naquele plano é
\mathbf e_{1}=\mathbf e_x,\qquad \mathbf e_{2}=\mathbf u\times\mathbf e_x =\bigl(0,\;\sin(\omega_{1}t),\;-\,\cos(\omega_{1}t)\bigr).
Então a posição de D em relação a C é
\mathbf r_{D/C} =r\bigl[\cos(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{1} +\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{2}\bigr].
Logo
\mathbf r_{D/A} =L\,\mathbf u(t) +r\bigl[\cos(\omega_{2}t)\,\mathbf e_x +\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{2}\bigr].

Passo 3

Calculamos primeiro a velocidade de C:
\mathbf v_{C} =\frac{d}{dt}\bigl(L\,\mathbf u\bigr) =L\,\omega_{1}\,\mathbf e_x\times\mathbf u =-\,L\,\omega_{1}\,\mathbf e_{2}.
Agora \mathbf v_{D}=\mathbf v_{C}+\dfrac{d}{dt}(\mathbf r_{D/C}).
Como \mathbf e_x é constante e \mathbf e_{2} muda segundo \displaystyle\frac{d\mathbf e_{2}}{dt} =\omega_{1}\,\mathbf u,
temos
\frac{d\mathbf r_{D/C}}{dt} =r\Bigl[ -\omega_{2}\,\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf e_x +\omega_{2}\,\cos(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{2} +\omega_{1}\,\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf u \Bigr].
Somando com \mathbf v_{C}=-L\omega_{1}\mathbf e_{2}
\boxed{ \mathbf v_{D} =-L\,\omega_{1}\,\mathbf e_{2} +r\Bigl[ -\omega_{2}\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf e_x +\omega_{2}\cos(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{2} +\omega_{1}\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf u \Bigr]. }

Passo 4

Para a aceleração usamos \displaystyle\mathbf a_{D} =\frac{d\mathbf v_{D}}{dt} =\mathbf a_{C} +\boldsymbol\alpha\times\mathbf r_{D/C} +(\boldsymbol\omega_{1}+\boldsymbol\omega_{2})\times \bigl[(\boldsymbol\omega_{1}+\boldsymbol\omega_{2})\times\mathbf r_{D/C}\bigr],
onde \boldsymbol\omega_{1}=\omega_{1}\mathbf e_x, \boldsymbol\omega_{2}=\omega_{2}\mathbf u, \boldsymbol\alpha =\frac{d}{dt}\boldsymbol\omega_{2} =\omega_{1}\omega_{2}\,(\mathbf e_x\times\mathbf u) =-\omega_{1}\omega_{2}\,\mathbf e_{2}.
Calcula‐se \displaystyle\mathbf a_{C} =-L\,\omega_{1}^{2}\,\mathbf u.
Após desenvolvimento vetorial completo fica
\boxed{ \mathbf a_{D} =-\,r\,\omega_{2}^{2}\cos(\omega_{2}t)\,\mathbf e_x -r\,\bigl(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\bigr)\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{2} -\,L\,\omega_{1}^{2}\,\mathbf u. }

Resposta

\displaystyle \mathbf v_{D} =-\,L\,\omega_{1}\,\mathbf e_{2} +r\Bigl[ -\omega_{2}\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf e_x +\omega_{2}\cos(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{2} +\omega_{1}\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf u \Bigr], \displaystyle \mathbf a_{D} =-\,r\,\omega_{2}^{2}\cos(\omega_{2}t)\,\mathbf e_x -r\,\bigl(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\bigr)\sin(\omega_{2}t)\,\mathbf e_{2} -\,L\,\omega_{1}^{2}\,\mathbf u, onde \mathbf u=\cos(\omega_{1}t)\,\mathbf e_{y}+\sin(\omega_{1}t)\,\mathbf e_{z}
e \displaystyle\mathbf e_{2}=\mathbf u\times\mathbf e_x.

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