Um dispositivo eletrônico, como, por exemplo, um transistor de potência montado sobre um dissipador de calor aletado, pode ser modelado como um objeto espacialmente isotérmico com geração de energia dotEg e uma resistência externa à convecção Rr. Considere como tal um sistema de massa m, calor específico c e área da superfície As, que está ínicialmente em equilibrio com o ambiente a Tinfty. Subitamente o componente eletrônico é energizado de modo que uma geração constante de energia dotEg (W) ocorre.
(a) Utilizando a análise da Seção 16.5 .1 e iniciando com um sistema definido apropriado, mostre que o balanço global de energia para o sistema tem a forma
-h As(T-Tinfty)+dotEde
(b) Após ser energizado o dispositivo terminará por atingir ( t infty ) uma temperatura uniforme em regime permanente T(infty). Utilizando o balanço de energia anterior para a condição de regime permanente, mostre que
dotER=h A5(T(infty)-Tx)
© Utilizando o balanço de energia do item (a) e a expressão para dotEg do item(b), mostre que a resposta de temperatura transiente do dispositivo é
thetathetai=exp (-tRt Ct)
onde theta equiv T-T(infty) e T(infty) é a temperatura de regime permanente correspondente a t infty ; thetai equiv Ti-T(infty) ; Ti é a temperatura inicial do dispositivo; Rt é a resistência térmica 1 / h As; e Ct é a capacitância térmica m c.

Passo 1

Beleza, aqui está o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: temos um dispositivo (transistor ou coisa parecida) que aquece internamente com taxa constante de geração de calor e esfria por convecção, com coeficiente e área de superfície . Ele tem massa , calor específico e vive em um ambiente à temperatura . Inicialmente tudo está à e, de repente, ligamos o aquecimento.
Conteúdo: transferência de calor “lumped” (corpo isotérmico) e balanço de energia (1ª lei da termodinâmica).
O que vamos precisar:
• Entender que o balanço de energia diz: geração – saída = acumulação.
• Regime permanente (acumulação = 0).
• Resolver a equação diferencial para achar a resposta transitória.

Passo 2

Escrevendo o balanço de energia (1ª lei) para o corpo lumped:
  1. Geração interna dot Eg ;-; h,Asl(T-Tinftyr) ;=; m,c,dTdt (positiva)
  2. Perda por convecção -h,Asl(T-Tinftyr);+;dot Eg ;=; m,c,dTdt (sai do corpo)
  3. Acúmulo de energia interna .
    Logo, geração menos saída é a variação interna:
Ou reorganizando, que é exatamente o que o enunciado pede:

Passo 3

Agora vamos ao regime permanente: quando -h,Asl(T(infty)-Tinftyr)+dot Eg ;=;0, o sistema para de acumular calor, então dot Eg ;=; h,Asl(T(infty)-Tinftyr) . Substituindo em
vem
Esse é o resultado do item (b).

Passo 4

Para achar a solução transitória, usamos a mesma equação do item (a) e substituímos m,c,dTdt ;=; -h,Asl(T-Tinftyr) ;+; h,Asl(T(infty)-Tinftyr) por m,c,dTdt ;=; -h,Asl[T-Tinfty -l(T(infty)-Tinftyr)r] ;=; -,h,Asl[T-T(infty)r] . Assim:
m,c,dthetadt ;=; -,h,As,theta
Juntando termos em dthetadt ;=; -hAsm c,theta :
theta(t) = thetai ;exp!l(-hAsm c,tr),
Definindo Rt = 1hAs, Ct = m c , a equação fica
hAsm c = 1Rt,Ct
Divide por :

Isso é uma EDO de 1º ordem padrão, cuja solução é
[
\theta(t)

\theta_i
;\exp!\Bigl(-\frac{hA_s}{m c},t\Bigr),
]
onde .

Agora identificamos

e, portanto,
[
\frac{hA_s}{m c}

\frac{1}{R_t,C_t}.
]

Resposta

[
\boxed{
\frac{\theta(t)}{\theta_i}

\exp!\Bigl(-\frac{t}{R_t,C_t}\Bigr).
}
]

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