Um dispositivo eletrônico, como, por exemplo, um transistor de potência montado sobre um dissipador de calor aletado, pode ser modelado como um objeto espacialmente isotérmico com geração de energia
e uma resistência externa à convecção
. Considere como tal um sistema de massa
, calor específico
e área da superfície
, que está ínicialmente em equilibrio com o ambiente a
. Subitamente o componente eletrônico é energizado de modo que uma geração constante de energia
(W) ocorre.
(a) Utilizando a análise da Seção 16.5 .1 e iniciando com um sistema definido apropriado, mostre que o balanço global de energia para o sistema tem a forma
(b) Após ser energizado o dispositivo terminará por atingir (
) uma temperatura uniforme em regime permanente
. Utilizando o balanço de energia anterior para a condição de regime permanente, mostre que
© Utilizando o balanço de energia do item (a) e a expressão para
do item(b), mostre que a resposta de temperatura transiente do dispositivo é
onde
e
é a temperatura de regime permanente correspondente a
é a temperatura inicial do dispositivo;
é a resistência térmica
; e
é a capacitância térmica
.
(a) Utilizando a análise da Seção 16.5 .1 e iniciando com um sistema definido apropriado, mostre que o balanço global de energia para o sistema tem a forma
Passo 1
Beleza, aqui está o que o exercício pede e o que a gente vai usar.
Enunciado resumido: temos um dispositivo (transistor ou coisa parecida) que aquece internamente com taxa constante de geração de calor e esfria por convecção, com coeficiente
e área de superfície
. Ele tem massa
, calor específico
e vive em um ambiente à temperatura
. Inicialmente tudo está à
e, de repente, ligamos o aquecimento.
Conteúdo: transferência de calor “lumped” (corpo isotérmico) e balanço de energia (1ª lei da termodinâmica).
O que vamos precisar:
• Entender que o balanço de energia diz: geração – saída = acumulação.
• Regime permanente (acumulação = 0).
• Resolver a equação diferencial para achar a resposta transitória.
Enunciado resumido: temos um dispositivo (transistor ou coisa parecida) que aquece internamente com taxa constante de geração de calor
Conteúdo: transferência de calor “lumped” (corpo isotérmico) e balanço de energia (1ª lei da termodinâmica).
O que vamos precisar:
• Entender que o balanço de energia diz: geração – saída = acumulação.
• Regime permanente (acumulação = 0).
• Resolver a equação diferencial para achar a resposta transitória.
Passo 2
Escrevendo o balanço de energia (1ª lei) para o corpo lumped:
- Geração interna
(positiva) - Perda por convecção
(sai do corpo) - Acúmulo de energia interna
.
Logo, geração menos saída é a variação interna:
Ou reorganizando, que é exatamente o que o enunciado pede:
Passo 3
Agora vamos ao regime permanente: quando
o sistema para de acumular calor, então
. Substituindo em
vem
Esse é o resultado do item (b).
Passo 4
Para achar a solução transitória, usamos a mesma equação do item (a) e substituímos
por
. Assim:
Juntando termos em
:
Definindo
, a equação fica
Divide por
:
Isso é uma EDO de 1º ordem padrão, cuja solução é
[
\theta(t)
\theta_i
;\exp!\Bigl(-\frac{hA_s}{m c},t\Bigr),
]
;\exp!\Bigl(-\frac{hA_s}{m c},t\Bigr),
]
onde
.
Agora identificamos
e, portanto,
[
\frac{hA_s}{m c}
\frac{1}{R_t,C_t}.
]
]
Resposta
[
\boxed{
\frac{\theta(t)}{\theta_i}
\exp!\Bigl(-\frac{t}{R_t,C_t}\Bigr).
}
]
}
]