Uma técnica para eliminação đe contaminação bioquímica de correspondências está sendo avaliada no centro de processamento do serviço postal. Ela utiliza uma fonte de feixe de elétrons que serve para alterar quimicamente os agentes, mas que possui um efeito adverso de aquecer substancialmente a correspondência. Após a exposição a uma fonte de feixe de elétrons por um período de tempo determinado, testes indicam que a correspondência no interior de um contêiner de processamento ( 150 mm times 300 mm times 600 mm ) atinge uma temperatura de 50^circ C. As propriedades termofísicas efetivas do envelope đa correspondência no contêiner são k=0,15 W / m cdot K e rho c=2,0 times 10^6 J / m^3. Estime o tempo necessário para que os conteúdos do contêiner atinjam uma temperatura segura ao toque de 43^circ C quando o contêiner for submetido ao resfriamento por convecção com o ar ambiente a 25^circ C e um coeficiente de transmissão de calor por convecção de 25 W/ m^2 cdot K. Sugestão: Modele o contêiner como uma parede plana de espessura 2 L=150 mm; essa condição representa a limitação da aproximação unidimensional para o contêiner.

Passo 1

Beleza, vamos recortar o problema: temos um “container” representado por uma parede plana de espessura total 2L = 150 mm (logo L=0,075 m). Depois de exposto, ele está a Ti = 50^circC e vai ser resfriado por convecção pra Tinfty = 25^circC, com h=25 W/m^2K. Queremos saber em quanto tempo o centro atinge T=43^circC.
Conteúdo da matéria: condução transiente em placa (solução em série de Fourier), número de Biot, número de Fourier e aproximação de um termo só. A gente vai precisar de:
• difusividade térmica alpha = dfrackrho c
• número de Biot Bi = dfrachLk
• raiz zeta1 da equação zetatanzeta=Bi
• coeficiente A1 da solução de primeiro termo
• relação T(0,t)-TinftyTi-Tinfty=A1,e^-zeta1^2,Fo, Fo=alpha tL^2

Passo 2

Calcula parâmetros básicos:
  1. L = 0,075 m.
  2. alpha = krho c = 0,152,0times10^6 = 7,5times10^-8 m^2/s.
  3. Bi = dfrach,Lk = dfrac25cdot0,0750,15 = 12,5,.
    Como Bi>0,1, não serve o método de cap. concentrada; vamos à solução exata de 1 termo.

Passo 3

A raiz zeta1 é solução de
zeta,tanzeta = Bi =12,5,
Fazendo tentativa numérica rápida (ou tabela) dá
zeta1 approx 1,461,

Passo 4

O coeficiente A1 para placa é
A1 = 4sinzeta12zeta1 + sin(2zeta1),
Substituindo zeta1=1,461:
- sinzeta1approx0,994
- sin(2zeta1)approx0,217
Logo
$$A_1 \approx \frac{4\cdot0{,}994}{2\cdot1{,}461 +0{,}217}
= \frac{3{,}976}{3{,}139}
\approx1{,}266,. $$

Passo 5

Agora a condição no centro ( x=0) é
$$\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}
= A_1,\exp\bigl(-\zeta_1^2,Fo\bigr),\quad Fo=\frac{\alpha t}{L^2},. T(0,t)-TinftyTi-Tinfty = A1,expl(-zeta1^2,For),, Fo=alpha tL^2, ã\frac{43-25}{50-25} = \frac{18}{25}=0{,}72
=1{,}266,e{-1{,}4612,Fo},. T(0,t)=43^circCe{-1{,}4612,Fo} = \frac{0{,}72}{1{,}266}=0{,}5687
\quad\Longrightarrow\quad -1{,}461^2,Fo = \ln(0{,}5687)=-0{,}564,. 43-2550-25 = 1825=0,72 =1,266,e^-1,461^2,Fo, Fo = \frac{0{,}564}{1{,}461^2} = \frac{0{,}564}{2{,}135} \approx0{,}264,. $$
E por fim o tempo
e^-1,461^2,Fo = 0,721,266=0,5687 Longrightarrow -1,461^2,Fo = ln(0,5687)=-0,564,

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 1,98×10^4 s, ou cerca de 5 h 30 min.

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