Um dispositivo êmbolo-cilindro, inicialmente contém 0,07 m^3 de gás nitrogênio a 130 kPa e 120 ^circ C. O nitrogênio é agora expandido para uma pressão de 100 kPa politropicamente com um expoente politrópico cujo valor é igual à razão entre os calores específicos (a chamada de expansão isentrópica). Determinar a temperatura final e o trabalho de fronteira feito durante este processo. (Resp.: 364,6 K ; 1,64 KJ)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um dispositivo êmbolo-cilindro com gás nitrogênio. Inicialmente, o gás está a 0,07 m³, 130 kPa e 120°C. A pressão diminui para 100 kPa de forma politrópica, ou seja, seguindo uma certa relação entre pressão e volume durante a expansão. O expoente politrópico aqui é igual à razão entre os calores específicos, o que significa que estamos lidando com uma expansão isentrópica (sem troca de calor). A gente precisa descobrir a temperatura final e o trabalho feito nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações dos processos isentrópicos para gases ideais e entender um pouco sobre trabalho em termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, porque em termodinâmica a gente sempre trabalha com temperaturas absolutas. A fórmula é simples:
T(K) = T(°C) + 273,15
Então,
T1 = 120 + 273,15 = 393,15 , K
Vamos arredondar para 393 K.

Passo 3

Como estamos lidando com uma expansão isentrópica, podemos usar a relação entre as temperaturas e pressões:
T2T1 = ( P2P1 )^gamma -1gamma
Aqui, gamma é a razão entre os calores específicos Cp/Cv. Para o nitrogênio, que é um gás diatômico, gamma é aproximadamente 1,4.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
T2393 = ( 100130 )^1,4 -11,4
Primeiro, calculamos a razão das pressões:
100130 = 0,7692
E o expoente:
0,41,4 approx 0,2857
Então,
T2393 = 0,7692^0,2857

Passo 5

Agora, vamos calcular 0,7692^0,2857. Usando uma calculadora:
0,7692^0,2857 approx 0,9283
Portanto,
T2 = 393 times 0,9283 approx 365,2 , K
Arredondando, temos:
T2 approx 365 , K

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho de fronteira feito durante a expansão. Para um processo isentrópico em um gás ideal, o trabalho W pode ser calculado pela fórmula:
W = P1 V1 - P2 V2gamma -1
Mas primeiro, precisamos encontrar V2, o volume final. Para isso, usamos a relação isentrópica entre volumes e pressões:
( V2V1 ) = ( P1P2 )^1gamma

Passo 7

Vamos calcular V2V1:
( V20,07 ) = ( 130100 )^11,4
Primeiro, a razão das pressões:
130100 = 1,3
E o expoente:
11,4 approx 0,7143
Então,
V20,07 = 1,3^0,7143 approx 1,175
Portanto,
V2 = 0,07 times 1,175 approx 0,0823 , m^3

Passo 8

Agora, vamos calcular o trabalho W:
W = 130 times 0,07 - 100 times 0,08231,4 -1
Primeiro, calculamos os produtos:
130 times 0,07 = 9,1 , kPa cdot m^3
100 times 0,0823 = 8,23 , kPa cdot m^3
A diferença:
9,1 - 8,23 = 0,87 , kPa cdot m^3
E o denominador:
1,4 -1 = 0,4
Então,
W = 0,870,4 = 2,175 , kJ

Resposta

A temperatura final é aproximadamente 365 K e o trabalho de fronteira feito durante o processo é cerca de 2,18 kJ.

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