Quando uma solda de um par termoelétrico é mantida no ponto de gelo e a outra se encontra à temperatura Celsius t, a fem do par é representada por uma função quadrática
mathscrE=alpha t+beta t^2
Se mathscrE se expressa em milivolts, os valores numéricos para certo termopar são:
alpha=0,50 e beta=-1 times 10^-3
(a) Determine a fem para t=-100^circ C, 200^circ C e 500^circ C e represente graficamente mathscrE em função de t. (b) Suponha que a fem seja uma propriedade termométrica e que uma escala de temperatura t^star é definida pela equação linear
t^star=a mathscrE+b
Se t=0 no ponto de gelo e t^star=100 no ponto de vapor. Determine os valores numéricos de a e b e represente mathscrE em função de t^star © Determine os valores de t^star quando t=-100^circ C, 200^circ C, 400^circ C e 500^circ C e represente graficamente t^star em função de t dentro desse intervalo. (d) Pode-se afirmar que a escala t^star uma escala Celsius?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um par termoelétrico onde a força eletromotriz (fem) é dada por uma função quadrática da temperatura Celsius $ t $:
t
Aqui, $ \alpha = 0,50 $ mV/°C e $ \beta = -1 \times 10^{-3} $ mV/°C². O que precisamos fazer é:
a) Calcular a fem para $ t = -100^{\circ}C $, $ 200^{\circ}C $ e $ 500^{\circ}C $ e fazer um gráfico de $ \mathscr{E} $ em função de $ t $.
b) Definir uma nova escala de temperatura $ t^{\star} $ usando uma equação linear e determinar os coeficientes $ a $ e $ b $.
c) Calcular $ t^{\star} $ para alguns valores de $ t $ e graficar $ t^{\star} $ em função de $ t $.
d) Verificar se a escala $ t^{\star} $ é uma escala Celsius.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a). Primeiro, precisamos calcular a fem para os valores de $ t $ dados usando a fórmula:
t
Para $ t = -100^{\circ}C $:
mathscrE = 0,50 , t + (-1 times 10^-3) , t^2
Para $ t = 200^{\circ}C $:
t = -100^circC
Para $ t = 500^{\circ}C $:
mathscrE = 0,50 times (-100) + (-1 times 10^-3) times (-100)^2 = -50 + (-1 times 10^-3) times 10,000 = -50 -10 = -60 , mV
Depois de calcular esses valores, podemos representar graficamente $ \mathscr{E} $ em função de $ t $ para visualizar como a fem varia com a temperatura.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos definir uma nova escala de temperatura $ t^{\star} $ que depende linearmente de $ \mathscr{E} $:
t^star
Sabemos que:
  • Quando $ t = 0^{\circ}C $ (ponto de gelo), $ \mathscr{E} = \alpha \times 0 + \beta \times 0^{2} = 0 $ mV e $ t^{\star} = 0 $.
  • Quando $ t $ está no ponto de vapor (vamos assumir $ t = 100^{\circ}C $ para simplificar, já que não foi especificado), digamos $ t^{\star} = 100 $.
Entretanto, na questão está indicado que $ t^{\star} = 100 $ no ponto de vapor, então precisamos usar os valores fornecidos para determinar $ a $ e $ b $.
Vamos montar o sistema de equações:
  1. Para $ t = 0^{\circ}C $:
mathscrE
  1. Para $ t $ no ponto de vapor (supondo $ t = 100^{\circ}C $):
t^star = a mathscrE + b
Calculando $ \mathscr{E} $ para $ t = 100^{\circ}C $:
t = 0^circC
Portanto:
mathscrE = alpha times 0 + beta times 0^2 = 0
Então, a equação da escala $ t^{\star} $ é:
t^star = 0
Podemos também representar graficamente $ \mathscr{E} $ em função de $ t^{\star} $.

Passo 4

Vamos para a parte ©. Precisamos calcular $ t^{\star} $ para $ t = -100^{\circ}C $, $ 200^{\circ}C $, $ 400^{\circ}C $ e $ 500^{\circ}C $ usando a equação que encontramos:
t^star
Primeiro, já calculamos $ \mathscr{E} $ para $ t = -100^{\circ}C $, $ 200^{\circ}C $ e $ 500^{\circ}C $. Vamos calcular para $ t = 400^{\circ}C $:
t = -100^circC
Agora, aplicando na equação de $ t^{\star} $:
  • Para $ t = -100^{\circ}C $:
200^circC
  • Para $ t = 200^{\circ}C $:
400^circC
  • Para $ t = 400^{\circ}C $:
500^circC
  • Para $ t = 500^{\circ}C $:
t^star = 2,5 mathscrE
Com esses valores, podemos fazer um gráfico de $ t^{\star} $ em função de $ t $ para visualizar como a nova escala se comporta dentro desse intervalo.

Passo 5

Finalmente, na parte (d), precisamos verificar se a escala $ t^{\star} $ é uma escala Celsius. Para isso, vamos analisar as propriedades da escala Celsius:
  • Na escala Celsius, $ 0^{\circ}C $ é o ponto de congelamento da água e $ 100^{\circ}C $ é o ponto de ebulição da água, com uma relação linear entre temperatura e pontos de referência.
Observando a escala $ t^{\star} $ que definimos:
  • Quando $ t = 0^{\circ}C $, $ t^{\star} = 0 $.
  • Quando $ t = 100^{\circ}C $, $ t^{\star} = 100 $.
No entanto, ao calcularmos para outros valores de $ t $, percebemos que a relação não é linear, já que há influências do termo quadrático na fórmula original da fem. Por exemplo:
  • Para $ t = -100^{\circ}C $, $ t^{\star} = -150 $.
  • Para $ t = 500^{\circ}C $, $ t^{\star} = 0 $.
Isso mostra que a escala $ t^{\star} $ não mantém a linearidade necessária para ser uma escala Celsius.

Resposta

A escala $ t^{\star} $ não é uma escala Celsius, pois não apresenta uma relação linear direta com a temperatura Celsius em todo o intervalo analisado.

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