Quando uma solda de um par termoelétrico é mantida no ponto de gelo e a outra se encontra à temperatura Celsius
, a fem do par é representada por uma função quadrática
Se
se expressa em milivolts, os valores numéricos para certo termopar são:
(a) Determine a fem para
e
e represente graficamente
em função de
. (b) Suponha que a fem seja uma propriedade termométrica e que uma escala de temperatura
é definida pela equação linear
Se
no ponto de gelo e
no ponto de vapor. Determine os valores numéricos de
e
e represente
em função de
© Determine os valores de
quando
e
e represente graficamente
em função de
dentro desse intervalo. (d) Pode-se afirmar que a escala
uma escala Celsius?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um par termoelétrico onde a força eletromotriz (fem) é dada por uma função quadrática da temperatura Celsius $ t $:
Aqui, $ \alpha = 0,50 $ mV/°C e $ \beta = -1 \times 10^{-3} $ mV/°C². O que precisamos fazer é:
a) Calcular a fem para $ t = -100^{\circ}C $, $ 200^{\circ}C $ e $ 500^{\circ}C $ e fazer um gráfico de $ \mathscr{E} $ em função de $ t $.
b) Definir uma nova escala de temperatura $ t^{\star} $ usando uma equação linear e determinar os coeficientes $ a $ e $ b $.
c) Calcular $ t^{\star} $ para alguns valores de $ t $ e graficar $ t^{\star} $ em função de $ t $.
d) Verificar se a escala $ t^{\star} $ é uma escala Celsius.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a). Primeiro, precisamos calcular a fem para os valores de $ t $ dados usando a fórmula:
Para $ t = -100^{\circ}C $:
Para $ t = 200^{\circ}C $:
Para $ t = 500^{\circ}C $:
Depois de calcular esses valores, podemos representar graficamente $ \mathscr{E} $ em função de $ t $ para visualizar como a fem varia com a temperatura.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Queremos definir uma nova escala de temperatura $ t^{\star} $ que depende linearmente de $ \mathscr{E} $:
Sabemos que:
- Quando $ t = 0^{\circ}C $ (ponto de gelo), $ \mathscr{E} = \alpha \times 0 + \beta \times 0^{2} = 0 $ mV e $ t^{\star} = 0 $.
- Quando $ t $ está no ponto de vapor (vamos assumir $ t = 100^{\circ}C $ para simplificar, já que não foi especificado), digamos $ t^{\star} = 100 $.
Entretanto, na questão está indicado que $ t^{\star} = 100 $ no ponto de vapor, então precisamos usar os valores fornecidos para determinar $ a $ e $ b $.
Vamos montar o sistema de equações:
- Para $ t = 0^{\circ}C $:
- Para $ t $ no ponto de vapor (supondo $ t = 100^{\circ}C $):
Calculando $ \mathscr{E} $ para $ t = 100^{\circ}C $:
Portanto:
Então, a equação da escala $ t^{\star} $ é:
Podemos também representar graficamente $ \mathscr{E} $ em função de $ t^{\star} $.
Passo 4
Vamos para a parte ©. Precisamos calcular $ t^{\star} $ para $ t = -100^{\circ}C $, $ 200^{\circ}C $, $ 400^{\circ}C $ e $ 500^{\circ}C $ usando a equação que encontramos:
Primeiro, já calculamos $ \mathscr{E} $ para $ t = -100^{\circ}C $, $ 200^{\circ}C $ e $ 500^{\circ}C $. Vamos calcular para $ t = 400^{\circ}C $:
Agora, aplicando na equação de $ t^{\star} $:
- Para $ t = -100^{\circ}C $:
- Para $ t = 200^{\circ}C $:
- Para $ t = 400^{\circ}C $:
- Para $ t = 500^{\circ}C $:
Com esses valores, podemos fazer um gráfico de $ t^{\star} $ em função de $ t $ para visualizar como a nova escala se comporta dentro desse intervalo.
Passo 5
Finalmente, na parte (d), precisamos verificar se a escala $ t^{\star} $ é uma escala Celsius. Para isso, vamos analisar as propriedades da escala Celsius:
- Na escala Celsius, $ 0^{\circ}C $ é o ponto de congelamento da água e $ 100^{\circ}C $ é o ponto de ebulição da água, com uma relação linear entre temperatura e pontos de referência.
Observando a escala $ t^{\star} $ que definimos:
- Quando $ t = 0^{\circ}C $, $ t^{\star} = 0 $.
- Quando $ t = 100^{\circ}C $, $ t^{\star} = 100 $.
No entanto, ao calcularmos para outros valores de $ t $, percebemos que a relação não é linear, já que há influências do termo quadrático na fórmula original da fem. Por exemplo:
- Para $ t = -100^{\circ}C $, $ t^{\star} = -150 $.
- Para $ t = 500^{\circ}C $, $ t^{\star} = 0 $.
Isso mostra que a escala $ t^{\star} $ não mantém a linearidade necessária para ser uma escala Celsius.
Resposta
A escala $ t^{\star} $ não é uma escala Celsius, pois não apresenta uma relação linear direta com a temperatura Celsius em todo o intervalo analisado.