A distribuição de temperatura em regime permanente em uma parede unidimensional de condutividade térmica 50 W / m cdot K e espessura de 50 mm é dada experimentalmente por T( ^circ C)=a+b x^2, onde a=200^circ C, b=-2000^circ C / m^2 e x epsilon dado em metros.
(a) Qual é a taxa de geração volumétrica de energia dotq na parede?
(b) Determine os fluxos térmicos nas duas faces da parede. De que forma esses fluxos se relacionam com a taxa de geração volumétrica de energia?

Passo 1

Tranquilo! O enunciado fala de uma parede plana 1D em regime estacionário, com condutividade térmica k=50 W/m·K e espessura L=50 mm (0,05 m). A temperatura ao longo da espessura é dada por
T(x)=a + b,x^2,,
onde e .
Conteúdo que vamos usar:
  • Equação de condução de calor 1D em regime permanente com geração volumétrica .
  • Derivadas da função para achar e os fluxos de calor.
  • Relação entre a geração volumétrica e os fluxos nas faces.

Passo 2

Para achar a taxa de geração volumétrica ddxl(k,dTdxr) + dot q ;=;0 usamos a equação diferencial da condução em estado estacionário com geração interna:
k,d^2Tdx^2 + dot q = 0 ;Longrightarrow; dot q = -,k,d^2Tdx^2
Como dTdx=2,b,x , d^2Tdx^2=2,b é constante, fica
dot q = -,k,(2b) = -,50;l(2cdot(-2000)r) = -50cdot(-4000) =2,0times10^5;W/m^3
Agora,
Logo
Note que o sinal positivo indica geração de calor (já que é negativo).

Passo 3

Para os fluxos nas faces usamos
q''(x) ;=;-,k,dTdx ;=;-,k,(2,b,x) ;=;-2,k,b,x
  • Na face q''(0) = -2,k,b,(0)=0;W/m^2 : q''(L) = -2,(50),(-2000),(0,05) = 10000;W/m^2
  • Na face m:

Passo 4

A relação entre os fluxos e a geração é a conservação de energia em 1D:
q''(L)-q''(0) ;=;integral0^Ldot q,dx ;=;dot q;L
Substituindo,
10000 - 0 = (2,0times10^5)times0,05 =10000;W/m^2,
confirmando que bate certinho.

Resposta


• Fluxo na face :
• Fluxo na face :
• Esses fluxos diferem exatamente de , como exige a equação de energia.

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