Encontre as três equações de estado para o sistema dado pela equação fundamental:
u=\left(\frac{v_{o} \theta}{R}\right) \frac{s^{2}}{v} e^{s / R}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação fundamental por mol
u = \left(\frac{v_{0}\,\theta}{R}\right)\,\frac{s^{2}}{v}\,e^{s/R},
onde u é a energia interna, s a entropia, v o volume molar e v_{0},\theta,R constantes.
O conteúdo é termodinâmica clássica: usamos a identidade
\mathrm{d}u = T\,\mathrm{d}s - p\,\mathrm{d}v
para obter as equações de estado
T = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial s}\Bigr)_v, \quad p = -\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_s,
e em seguida a definição de potencial químico (energ. livre de Gibbs por mol)
\mu = u + p\,v - T\,s.

Passo 2

Calcular a temperatura T(s,v). Defina
A = \frac{v_{0}\,\theta}{R}, \quad u = A\,\frac{s^{2}}{v}\,e^{s/R}.
Tomando a derivada parcial em relação a s (com v fixo) e usando \partial_{s}\ln u = 2/s + 1/R, obtém-se
T = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial s}\Bigr)_v = u\Bigl(\frac{2}{s} + \frac{1}{R}\Bigr) = A\,\frac{s^{2}}{v}\,e^{s/R}\Bigl(\frac{2}{s} + \frac{1}{R}\Bigr).

Passo 3

Calcular a pressão p(s,v). Mantendo s fixo,
\frac{\partial u}{\partial v} = A\,s^{2}\,e^{s/R}\,\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\frac{1}{v}\Bigr) = -A\,\frac{s^{2}}{v^{2}}\,e^{s/R},
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p = -\Bigl(\frac{\partial u}{\partial v}\Bigr)_s = A\,\frac{s^{2}}{v^{2}}\,e^{s/R}.

Passo 4

Calcular o potencial químico \mu(s,v) pela relação
\mu = u + p\,v - T\,s.
Substituindo p\,v = A\,\tfrac{s^{2}}{v}e^{s/R}=u e T\,s = u\bigl(2 + \tfrac{s}{R}\bigr), vem
\mu = u + u - u\Bigl(2 + \frac{s}{R}\Bigr) = -\,\frac{s}{R}\,u = -\,\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{s^{3}}{v}\,e^{s/R}.

Resposta

T(s,v) = \frac{v_{0}\,\theta}{R}\,\frac{s^{2}}{v}\,e^{s/R}\,\Bigl(\frac{2}{s} + \frac{1}{R}\Bigr),
p(s,v) = \frac{v_{0}\,\theta}{R}\,\frac{s^{2}}{v^{2}}\,e^{s/R},
\mu(s,v) = -\,\frac{v_{0}\,\theta}{R^{2}}\;\frac{s^{3}}{v}\,e^{s/R}.

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