Dois fios de cobre com bitola 10 AWG* ( 2,588 \mathrm{~mm} de diâmetro) estão colocados em paraleıo no ar com um espaçamento d entre eles. Se a indutância de cada fio é 1,2 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m}, calcule:
(a) L_{\text {in }} e L_{\text {ext }}, por metro, para cada fio;
(b) o espaçamento d entre os fios.
Resposta: (a) 0,05 e 1,15 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m}; (b) 40,79 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Dados:
    • Dois fios de cobre, bitola 10 AWG, com diâmetro 2,588\\ \mathrm{mm} (este dado vem do enunciado).
    • Os fios estão paralelos no ar com espaçamento entre centros d (a ser encontrado).
    • A indutância total de cada fio é \;1,2\\ \mu\mathrm{H/m} (isto é, indutância por metro associada a cada condutor, incluindo efeito interno e externo).
  • Pedidos:
    • (a) Calcular, por metro, para cada fio: \;L_{\text{in}} (indutância interna) e \;L_{\text{ext}} (indutância externa).
    • (b) Calcular o espaçamento entre centros \;d entre os fios.

Passo 2

Entendendo e calculando a indutância interna \;L_{\text{in}}.
  • O que é \;L_{\text{in}}? É a contribuição à indutância por unidade de comprimento devido ao campo magnético que existe dentro do condutor quando a corrente está distribuída por toda a seção (situação típica em baixas frequências, antes do efeito skin). Para um fio cilíndrico sólido e material não-magnético (como cobre, \mu_r\approx1), a fórmula padrão é L_{\text{in}}=\frac{\mu_0}{8\pi}.Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo (valor universal).
  • Valor de \mu_0: \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Agora calculamos \;L_{\text{in}}: L_{\text{in}}=\frac{\mu_0}{8\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{8\pi}=\frac{4}{8}\times10^{-7}=0{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.Convertendo para \mu\mathrm{H/m}: L_{\text{in}}=0{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}=5\times10^{-8}\\ \mathrm{H/m}=0{,}05\\ \mu\mathrm{H/m}.
  • Observação rápida e prática: esse valor \;0{,}05\\ \mu\mathrm{H/m} é universal para fio cilíndrico sólido com corrente uniformemente distribuída em condutor não-magnético — não depende do diâmetro.

Passo 3

Calculando a indutância externa \;L_{\text{ext}} a partir da indutância total dada.
  • A indutância total por fio é soma da interna e da externa: L_{\text{total}}=L_{\text{in}}+L_{\text{ext}}.
  • Temos \;L_{\text{total}}=1{,}2\\ \mu\mathrm{H/m} e já achamos \;L_{\text{in}}=0{,}05\\ \mu\mathrm{H/m}. Então L_{\text{ext}}=L_{\text{total}}-L_{\text{in}}=1{,}2-0{,}05=1{,}15\\ \mu\mathrm{H/m}.

Passo 4

Fórmula para \;L_{\text{ext}} e interpretação das variáveis.
  • A indutância externa por condutor, devida ao campo magnético no espaço entre os condutores (fora dos fios), para dois fios cilíndricos idênticos de raio r e separação entre centros d, é dada por L_{\text{ext}}=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\ln\!\left(\frac{d}{r}\right).Explicação rápida: esta expressão vem do cálculo do fluxo magnético externo entre a superfície do fio até a outra linha que conduz a corrente de retorno; \ln(d/r) aparece integrando campo \propto 1/\rho no espaço radial externo. Aqui:
    • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo (já usada antes),
    • r é o raio do fio (metade do diâmetro),
    • d é a distância entre centros (o que queremos).
  • Do enunciado o diâmetro é \;2{,}588\\ \mathrm{mm}; portanto o raio é r=\frac{2{,}588\\ \mathrm{mm}}{2}=1{,}294\\ \mathrm{mm}=0{,}001294\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Isolando d e calculando numericamente.
  • Rearranjando a fórmula de \;L_{\text{ext}}: \ln\!\left(\frac{d}{r}\right)=\frac{L_{\text{ext}}}{\mu_0/(2\pi)}.Note que \mu_0/(2\pi)=2\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Substituindo \;L_{\text{ext}}=1{,}15\\ \mu\mathrm{H/m}=1{,}15\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}: \ln\!\left(\frac{d}{r}\right)=\frac{1{,}15\times10^{-6}}{2\times10^{-7}}=5{,}75.
  • Exponenciando: \frac{d}{r}=e^{5{,}75}\quad\Rightarrow\quad d=r\,e^{5{,}75}.
  • Substituindo r=0{,}001294\\ \mathrm{m}: d=0{,}001294\times e^{5{,}75}\approx0{,}4079\\ \mathrm{m}.Convertendo para centímetros: d\approx40{,}79\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) \;L_{\text{in}}=0,05\\ \mu\mathrm{H/m} e \;L_{\text{ext}}=1,15\\ \mu\mathrm{H/m}
(b) \;d=0,4079\\ \mathrm{m}=40,79\\ \mathrm{cm}

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