Dois mols de um gás ideal estão num estado inicial para o qual \mathrm{P}=10 \mathrm{~atm} e \mathrm{V}=5 litros. O estado deste sistema evolui no sentido horário em torno de um caminho circular dado por
(V-10)^{2}+(P-10)^{2}=25
Calcule (a) quantidade de trabalho feita pelo gás como resultado deste processo e também as (b) temperaturas máxima e (c) mínima do gás durante o ciclo. (Exercício 2.8 do Gaskell)

Passo 1

O enunciado trata de um gás ideal com n=2 mol, estado inicial P=10\text{ atm}, V=5\text{ L}, que percorre no diagrama P–; V um ciclo fechado, no sentido horário, descrito pela circunferência
(V-10)^{2}+(P-10)^{2}=25.
Precisamos calcular
(a) o trabalho líquido realizado pelo gás \displaystyle W=\oint P\,dV,
(b) a temperatura máxima e (c) a mínima ao longo do ciclo, usando a lei dos gases ideais T=\dfrac{PV}{nR}.

Passo 2

Para um ciclo fechado, o trabalho realizado pelo gás é a área do loop no diagrama P–; V:
W=\oint P\,dV = \text{(área encerrada)}.á
Como o ciclo é percorrido no sentido horário, essa área contribui com sinal negativo. A curva é um círculo de raio r=5 (unidades: V em litros, P em atm), então
\text{área} = \pi r^{2} = 25\pi\;\bigl(\text{atm}\cdot\text{L}\bigr).á
Logo
W = -25\pi\;\bigl(\text{atm}\cdot\text{L}\bigr).
Convertendo para joules ( 1\;\text{L}\cdot\text{atm}=101{,}325\;\text{J}):
W = -25\pi\times101{,}325\;\text{J}\approx -7{,}96\times10^{3}\;\text{J}.

Passo 3

Para as temperaturas, usamos
T = \frac{P\,V}{n\,R},
com n=2 mol e R=0{,}08206\;\text{atm\cdotL/(mol\cdotK)}. Logo basta achar onde P\,V atinge extremos ao longo da circunferência.

Passo 4

Defina x=V-10 e y=P-10. A restrição é
x^{2}+y^{2}=25,
e
P\,V = (y+10)(x+10) = xy +10(x+y)+100.
Pelo método dos multiplicadores de Lagrange encontra-se que os extremos ocorrem quando y=x (a outra opção não dá solução real). Então
x=y=\pm\sqrt{12{,}5}=\pm\frac{5\sqrt2}{2}.

Passo 5

Caso x=y=+\tfrac{5\sqrt2}{2},
V=10+\frac{5\sqrt2}{2},\quad P=10+\frac{5\sqrt2}{2},\quad P\,V = \Bigl(10+\tfrac{5\sqrt2}{2}\Bigr)^{2}.
Assim
T_{\max} =\frac{(10+\tfrac{5\sqrt2}{2})^{2}}{2\;R} \approx\frac{183{,}26}{0{,}16412} \approx1{,}12\times10^{3}\;\text{K}.
Caso x=y=-\tfrac{5\sqrt2}{2},
V=10-\frac{5\sqrt2}{2},\quad P=10-\frac{5\sqrt2}{2},\quad P\,V\approx41{,}80,
e
T_{\min} =\frac{41{,}80}{2\;R} \approx\frac{41{,}80}{0{,}16412} \approx2,55\times10^{2}\;\text{K}.

Resposta

(a) W=-25\pi\;\text{L\cdotatm}\approx-7{,}96\times10^{3}\;\text{J}.
(b) T_{\max}\approx1{,}12\times10^{3}\;\text{K}.
(c) T_{\min}\approx2,55\times10^{2}\;\text{K}.

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